5.4.2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】作业与测评word（人教A版）

《作业与测评》新教材 数学A版·必修第一册 第2课时　正、余弦函数的单调性与最值 知识点一 正、余弦函数的单调性及应用 1.函数f(x)＝3sin在下列区间上单调递减的是(　　) A. B．[－π，0] C. D． 答案　D 解析　令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得≤x≤，因为⊆，所以函数f(x)＝3sin在区间上单调递减． 2．下列关系式中正确的是(　　) A．sin11°<cos10°<sin168° B．sin168°<sin11°<cos10° C．sin11°<sin168°<cos10° D．sin168°<cos10°<sin11° 答案　C 解析　sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y＝sinx的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°. 3．求下列函数的单调区间： (1)y＝cos2x； (2)y＝2sin. 解　(1)函数y＝cos2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定： 2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z. ∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝cos2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. (2)y＝2sin＝－2sin， 函数y＝－2sin的单调递增、递减区间，是函数y＝2sin的单调递减、递增区间． 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得 2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z. 令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得 2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z. [规律方法]　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令z＝ωx＋φ，即通过求y＝Asinz(或y＝Acosz)的单调区间从而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数化为正数后再求解. 知识点二 正、余弦函数的值域、最值 4.函数y＝sin，x∈的值域是(　　) A．(1，] B．[1,2] C．[0，] D．[－，] 答案　A 解析　当x∈时，x＋∈，从而<sin≤1，∴1<sin≤，即函数的值域为(1, ]． 5．函数y＝(x∈R)的最大值是(　　) A. B． C．3 D．5 答案　C 解析　由题意有y＝－1，而－1≤cosx≤1，∴1≤2－cosx≤3.∴≤≤4，∴≤y≤3. 6. [易错题]求函数y＝cos2x＋2asinx－3，a∈R的最大值． 解　y＝1－sin2x＋2asinx－3＝－sin2x＋2asinx－2＝－(sinx－a)2＋a2－2. ①若a∈[－1,1]，则当sinx＝a时，y取得最大值，ymax＝a2－2； ②若a∈(－∞，－1)，则当sinx＝－1时，y取得最大值，ymax＝－2a－3； ③若a∈(1，＋∞)，则当sinx＝1时，y取得最大值，ymax＝2a－3. [易错分析]　解答本题时若忽略正弦函数的有界性，就会得到下面的错解：y＝1－sin2x＋2asinx－3＝－sin2x＋2asinx－2，令t＝sinx，则y＝－t2＋2at－2，由二次函数的性质知，当t＝a时，y取得最大值，ymax＝a2－2. 知识点三 正、余弦函数性质的综合 7.已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞) 答案　D 解析　因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确． 8．[多选](2022·湖北名校高一联考)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)为奇函数 答案　ABC 解析　因为f(x)＝sin＝－cosx，所以T＝2π，故A正确；因为y＝cosx在上是减函数，所以y＝－cosx在上是增函数，故B正确；因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错