2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】作业与测评word（人教A版）

《作业与测评》新教材 数学A版·必修第一册 第2课时　一元二次不等式的应用 知识点一　简单分式不等式的解法 1．不等式≥0的解集为(　　) A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x>2} C．{x|1≤x<2} D．{x|x>2或x＝1} 答案　B 解析　≥0等价于(x－1)(x－2)≥0且x－2≠0，所以x≤1或x>2，所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}．故选B． 2．若实数a，b满足a＋b<0，则不等式<0的解集为________. 答案　{x|x>－a或x<b} 解析　原不等式等价于(x＋a)(b－x)<0，即(x＋a)(x－b)>0，又a＋b<0，所以b<－a.所以原不等式的解集为{x|x>－a或x<b}． 3．[易错题]解不等式＞1(a∈R)． 解　移项、通分得＞0⇒[(a－1)x－(a－2)](x－2)＞0.① 当a＝1时，①式可以转化为x＞2； 当a＞1时，①式可以转化为(x－2)＞0； 当a＜1时，①式可以转化为(x－2)＜0； 又当a≠1时，2－＝， 所以当a＞1或a＜0时，2＞； 当a＝0时，2＝； 当0＜a＜1时，2＜. 故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x＞2}；当a＞1时，原不等式的解集是；当0＜a＜1时，原不等式的解集是；当a＝0时，原不等式的解集是∅；当a＜0时，原不等式的解集是. [易错分析]　本题易忽略a＝0时原不等式不成立，另需注意a＞1时与a＜1时不等式有不同的转化形式．在解此类问题时，既要讨论不等式系数的符号，也要讨论相应方程的两个根的大小． 知识点二　与一元二次不等式有关的恒成立问题 4．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．－3<k<0 B．－3≤k<0 C．－3≤k≤0 D．－3<k≤0 答案　D 解析　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3<k≤0. 5．(2022·湖北孝感中学高一期中)若当0≤x≤2时，x2－2ax＋a＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围为________. 答案　{a|－2≤a≤2} 解析　若当0≤x≤2时，x2－2ax＋a＋2≥0恒成立，则函数y＝x2－2ax＋a＋2在0≤x≤2时的最小值恒大于等于0.二次函数y＝x2－2ax＋a＋2图象的对称轴为直线x＝a.当a≥2时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝2时取得最小值，且最小值为6－3a，故6－3a≥0，即a≤2，则a＝2；当a≤0时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝0时取得最小值，且最小值为2＋a，故2＋a≥0，则－2≤a≤0；当0<a<2时，函数y＝x2－2ax＋a＋2在x＝a时取得最小值，且最小值为－a2＋a＋2，则－a2＋a＋2≥0，则0<a<2.综上，实数a的取值范围为{a|－2≤a≤2}. 知识点三　一元二次不等式的实际应用 6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 答案　C 解析　由题意知25x－y＝0.1x2＋5x－3000≥0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)． 7．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，即x2－30x＋200<0，解得15≤x<20. 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格x的取值范围为15≤x<20. [名师点拨]　用一元二次不等式解决实际问题的步骤：①理解题意，搞清量与量之间的关系；②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；③解这个一元二次不等式，得到实际问题的解． 一、选择题 1．[易错题]不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－1<x≤1} B．{x|－1≤x<1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1<x<1} 答案　B 解析　原不等式⇔∴－1≤x＜1. [易错分析]　认为分式不等式与二次不等式等价致错，没有考虑分母不能为0是造成错误的主要原因． 2．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a－2)x－1≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(　　)