1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】作业与测评word（人教A版）

《作业与测评》新教材 数学A版·必修第一册 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 知识点一　全称量词命题的否定 1．[易错题]命题“能被3整除的数，也能被4整除”的否定是________. 答案　存在一个能被3整除的数，不能被4整除 解析　省略了全称量词“所有”，命题的否定：存在一个能被3整除的数，不能被4整除． [易错分析]　本题是省略了全称量词的全称量词命题，因此写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不改变量词． 2．写出下列全称量词命题的否定： (1)所有的长方形都是四边形； (2)任意实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)对任意实数x，x2＋1≥0. 解　(1)命题的否定：存在一个长方形不是四边形． (2)命题的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． (3)命题的否定：存在实数x，使得x2＋1＜0. 3．写出下列全称量词命题p的否定，并判断其真假． (1)p：所有矩形的对角线相等； (2)p：不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)p：∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． 解　(1)¬ p：有的矩形的对角线不相等．假命题． (2)¬ p：存在实数m，使x2＋x－m＝0没有实数根．真命题． (3)¬ p：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．真命题. 知识点二　存在量词命题的否定 4．写出下列存在量词命题p的否定，并判断其真假． (1)p：∃x>1，x2－2x－3＝0； (2)p：有些自然数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形． 解　(1)¬ p：∀x＞1，x2－2x－3≠0.(假) (2)¬ p：所有的自然数都不是奇数．(假) (3)¬ p：所有的平行四边形都是矩形．(假) 5．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，x＋y＝3. 解　(1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题. 知识点三　利用全称量词命题的否定、存在量词命题的否定求参数的取值范围 6．(1)已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若¬ p为假命题，求实数m的取值范围； (2)已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若¬ p为假命题，求实数m的取值范围． 解　(1)因为¬ p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}． (2)因为¬ p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即∃x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}． 一、选择题 1．命题“方程x2－x－2＝0有正根”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－x－2≠0 B．∀x＞0，x2－x－2≠0 C．∃x＜0，x2－x－2＝0 D．∀x＜0，x2－x－2＝0 答案　B 解析　原命题即“∃x>0，x2－x－2＝0”，其否定为“∀x＞0，x2－x－2≠0”．故选B． 2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(　　) A．¬ p：∀x∈A,2x∉B B．¬ p：∀x∉A,2x∉B C．¬ p：∃x∉A,2x∈B D．¬ p：∃x∈A,2x∉B 答案　D 解析　“任意”的否定是“存在”，则命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬ p：∃x∈A,2x∉B． 3．对下列命题的否定，说法错误的是(　　) A．p：能被2整除的数是偶数；¬ p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬ p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬ p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N,2n≤100；¬ p：∀n∈N,2n>100 答案　C 解析　C中¬ p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误． 4．下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z,1＜4x＜3 B．∃x∈Z,5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2＞0 答案　D 解析　如果命题的否定为假命题，那么该命题为真命题．对于A，由1＜4x＜3，得＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题，故A不选；对于B，由5x＋1＝0，得x＝－∉Z，故B为假命题，其否定为真命题