1.4.2 充要条件-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】作业与测评word（人教A版）

《作业与测评》新教材 数学A版·必修第一册 1.4.2　充要条件 知识点一　充要条件 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　由x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件． 2．a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0 D．a2＋b2＞0 答案　D 解析　a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D． 3．[多选]设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”；q：“灯泡L亮”，则p是q的充要条件的电路图是(　　) 答案　BD 解析　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD． 知识点二　从集合的角度看充分条件、必要条件和充要条件 4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　充分性：当a＝3时，A＝{1,3}，B＝{1,2,3}，可以推出A⊆B，故充分性成立；必要性：若A⊆B，则{1，a}⊆{1,2,3}，可得a＝2或a＝3，故必要性不成立．所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 5．若集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1＋a<x<1＋a}，则“2<a<3”是“B⊆A”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，B⊆A，∴解得2≤a≤3，∴2<a<3⇒B⊆A，反之不成立．故选A． 知识点三　充要条件的证明与应用 6．已知A＝{x|3x＋a≥0}，B＝{x|x≥2}，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a＝________. 答案　－6 解析　由3x＋a≥0得x≥－.由题意知＝{x|x≥2}，所以－＝2，a＝－6. 7．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0. 证明　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx. 当x＝0时，y＝0. 所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)． ②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)， 所以0＝0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0. 8．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明　①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况． 当xy＝0时，不妨设x＝0，得|y|＝|y|， ∴等式成立； 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时， 又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． ②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R， 则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 9．[易错题](2022·江西宜春高安中学高一月考)已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. 证明　充分性：若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1成立． 必要性：若a4－b4－2b2＝1， 则a4－b4－2b2－1＝0，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，∴a4－(b2＋1)2＝0， ∴(a2＋b2＋1)(a2－b2－1)＝0， ∵a2＋b2＋1≠0， ∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1成立． 综上所述，a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1. [易错分析]　本题错误的根源在于分不清充分性、必要性．只知分两步证明，但没有具体分清．解题时最好还原成定义形式，再加以证明． 一、选择题 1．设a，b，c分别是△ABC的三条边，且a≤b≤c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC为直角三角形”的(　　)