1.4.1 充分条件与必要条件-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】作业与测评word（人教A版）

《作业与测评》新教材 数学A版·必修第一册 1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 知识点一　充分条件与必要条件的判断 1．(2022·首都师大附中高一月考)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|x≤0或x≥5}，则“x∈P”是“x∈∁RQ”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵Q＝{x|x≤0或x≥5}，∴∁RQ＝{x|0<x<5}．又集合P＝{1,2,3,4}，∴x∈P⇒x∈∁RQ，但x∈∁RQ x∈P，∴“x∈P”是“x∈∁RQ”的充分条件但不是必要条件． 2．(2022·福建南安侨光中学高一月考)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的一个必要条件但不是充分条件是(　　) A．a<0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 答案　C 解析　设一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)的两根为x1，x2，∵两根一正一负，∴Δ＝4－4a>0且x1x2＝<0，∴a<0.又a<1a<0，但a<0⇒a<1，∴“a<1”是“a<0”的必要条件但不是充分条件．故选C． 3．(2022·哈尔滨延寿二中高一月考)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既是甲的充分条件又是甲的必要条件 D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案　A 解析　∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．∵丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙丙，∴丙⇒乙⇒甲，但甲丙．∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 4．给出下列命题： (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A． 试分别指出p是q的什么条件． 解　(1)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴qp. ∴p是q的充分条件但不是必要条件． (2)∵p⇒q，且q⇒p， ∴p既是q的充分条件，也是q的必要条件． 5．[易错题]判断下列说法是否正确，如果不正确，分析错误的原因． (1)x2＝x＋2是x＝x2的充分条件； (2)x2＝x＋2是x＝x2的必要条件． 解　(1)x2＝x＋2⇔x＝±， x＝±⇒x2＝±x， 故x2＝x＋2x＝x2.故说法错误． (2)x＝x2⇔x＝0或＝x(其中x为正数)， 故x＝x2x2＝x＋2.故说法错误． [易错分析]　本题容易忽略题目中的隐含条件致误. 知识点二　充分条件、必要条件的应用 6．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，若“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________. 答案　{a|－1≤a≤5} 解析　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以即所以－1≤a≤5. 7．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若“x∈A”是“x∈B”的一个充分条件但不是必要条件，则实数m的取值范围是________. 答案　{m|m>1} 解析　由题意，得AB，即解得m>1. 8．设命题p：“a－1≤x≤a＋1”，命题q：“2≤x≤3”． (1)当a＝0时，判断p是q的什么条件； (2)若p是q的必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，命题p：“－1≤x≤1”，命题q：“2≤x≤3”，显然p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． (2)命题p：“a－1≤x≤a＋1”， 命题q：“2≤x≤3”． 因为p是q的必要条件但不是充分条件， 所以或解得2≤a≤3. 所以实数a的取值范围是{a|2≤a≤3}． 一、选择题 1．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　A 解析　若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分条件但不是必要条件． 2．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 答案　B 解析　因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要条件但不是充分条件．故选B． 3．使|x|＝x成立的一个必要条件但不是充分条件的是(　　) A．x≥0 B．x