专题1.2 矩形的性质与判定-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题1.2 矩形的性质与判定 【学习目标】 1.了解矩形的概念，经历矩形特殊性质的探究过程，掌握矩形的特殊性质； 2.利用矩形的特殊性质解决问题； 3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理； 4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 5.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用. 【知识梳理】 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形： 1）边：①对边平行；②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC 2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 3）对角线：①对角线相等；②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO 4）对称性：轴对称图形；中心对称图形 5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD） 矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90° 2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90° 3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分 【高频考点精讲】 【高频考点1】矩形的性质（求角度、长度） 例1.（2022·重庆市初三期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°． 【答案】 【分析】由已知条件可先求得，在Rt△ABE中可求得，再由矩形的性质可得OA=OB，则可求得，即可求得结果； 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴，OA=OB， ∵∠EAD＝3∠BAE，∴，∴， ∵AE⊥BD，∴， ∴，．故答案是． 【点睛】本题主要考查了利用矩形的性质求角度，准确利用已知条件是解题的关键． 变式1.（2022•苏州九年级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EC平分∠BED，若AB＝1，BC，则∠ECD＝　 　°． 【分析】过点C作CM⊥BE交BE于M，先证明△EMC≌△EDC，求得∠DCE＝∠MCE，再证明△BMC为等腰直角三角形，求出∠MCD，最终求得∠ECD． 【解答】解：过点C作CM⊥BE交BE于M，如图， ∵EC平分∠BED，∴∠CEM＝∠CED， 在△EMC和△EDC中， ∴△EMC≌△EDC（AAS），∴∠DCE＝∠MCE，MC＝DC＝1， 在Rt△BMC中，BM1＝MC， ∴△BMC为等腰直角三角形，∴∠MCD＝45°，∴∠MCD＝45° ∴∠ECD＝∠MCE＝22.5°．故答案为：22.5． 【点评】本题考查了角平分线与矩形的性质，利用角平分线的性质作垂直是解决本题的关键． 例2.（2022•苏州期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是　 　． 【分析】过点P作PM∥FE交AD于M，则FE为△APM的中位线，PM＝2EF，当PM⊥AD时，PM最短，EF最短，在Rt△PMD中可求得PD的长度． 【解答】解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图， ∵F为AP的中点，PM∥FE，∴FE为△APM的中位线， ∴AM＝2AE＝2，PM＝2EF，当EF取最小值时，即PM最短， 当PM⊥AD时，PM最短，此时PM＝AB＝3， ∵MD＝AD﹣AM＝4，在Rt△PMD中，PD， ∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，故答案为：5． 【点评】本题考查了矩形的性质，垂线段的性质和三角形中位线定理，构造三角形中位线，利用垂线段最短是解决本题的关键． 变式1.（2022·河南初三期末）如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等． 【解析】 如图：过点C作CF⊥BD于F.∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，∠BAE=30°. ∴∠ABE=∠CDF=60°,AB=CD,AD=BC=2,∠AEB=∠CFD=90°，∠AED=30°， ∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.∴S△AED=EDAE,S△ECD=EDCF.∴S△AED=S△CDE ∵AE=1,DE=，∴△ECD的面积是.故答案选:D. 【点睛】本题考查了矩形的性质与含30度角的直角三角形相关知识，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与含30度角