专题1.3 正方形的性质与判定-【高频考点】2022-2023学年九年级数学上册同步高频考点专题突破（北师大版）

专题1.3 正方形的性质与判定 【学习目标】 1.理解正方形的概念； 2探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别； 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题； 4.会证明正方形的判定定理；能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明； 5.能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明. 【知识梳理】 正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形： 1）边：①四条边相等；②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC 2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 3）对角线：①对角线相互平分；②对角线相等；③对角线相互垂直；④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO 4）对称性：轴对称图形；中线对称图形 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，常见的判定思路为 ： 1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等， 2）判定方法2（从菱形出发）：菱形+1个90°角，或菱形+对角线相等， 3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直， 4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等， 【高频考点精讲】 【高频考点1】正方形的性质（求角度、长度） 【例1】（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中，∴∠MBO=∠NDO=45°， ∵点O为MN的中点∴OM=ON，∵∠MPN=90°，∴OM=OP， ∴∠PMN=∠MPO=30°，∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°， ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，，故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算． 变式1.（2022•黄浦区九年级期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE＝75°，则∠AFB＝　 　°． 【分析】根据等腰三角形的性质得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案． 【解答】解：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝75°， ∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB， ∵∠BAE＝90°+30°＝120°，∴∠ABE， ∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60． 【点评】此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余． 例2.（2022·广东初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______． 【答案】4+2 【分析】连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N，证明△DCE≌△BCE和△BEF为等腰三角形，设AF=x，用x表示DE与EF，由根据四边形ADEF的面积为4，列出x的方程求得x，进而求得四边形ADEF的周长． 【解析】解：如图，连接BE，DF，过E作EN⊥BF于点N， ∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°， 在△BEC和△DEC中，，∴△DCE≌△BCE（SAS）， ∴DE=BE，∠CDE=∠CBE，∴∠ADE=∠ABE， ∵∠DAB=90°，∠DEF=90°，∴∠ADE+∠AFE=180°， ∵∠AFE+∠EFB=180°，∴∠ADE=∠EFB，∴∠ABE=∠EFB， ∴EF=BE，∴DE=EF，设AF=x，则BF=3-x，∴FN=BN=BF=，∴AN=AF+FN=， ∵∠BAC=∠DAC=45°，∠ANF=90°，∴EN=AN=，∴DE=EF=， ∵四边形AFED的面积为4，∴S△ADF+S△DEF=4，∴×3x+×， 解得，x=-7（舍去），或x=1，∴AF=1，DE=EF=， ∴四边形