第一章专题练 特殊平行四边形中的最值问题-2022-2023学年九年级上册初三数学轻巧夺冠【优化训练】北师大版

北教传媒学科网 ★★独家授权★★ 轻巧夺冠、课堂直播、哈佛英语 活轻巧夺冠代化00 名师点睛：本题考查了正方形的判定与性质，全等三 ∴.ED∥FG,ED=FG, 角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出 ∴.四边形DEFG是平行四边形. :全等三角形和正方形是解题的关键， AE-BE.FH-BF.EF-HA. 11①②解析：.△ABE,△BCF为等边三角形， .AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF= BC-HA.EF-BC-DE, 6O°，∴.∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF, ∴.□DEFG是菱形 即∠CBA=∠FBE. (2)解：猜想：当AC=AB时，四边形DEFG为正方形. AB=EB. 理由：，AB=AC,∴.∠ACB=∠ABC 在△ABC和△EBF中，3 CBA=/FBE, ,BD,CE分别为AC,AB边上的中线， BC=BF, CD=号AC,BE=号AB∴.CD=BE .△ABC≌△EBF, DC=EB, 同理可得△ABC≌△DFC 在△DCB和△EBC中，，'{∠DCB=∠EBC, ∴.△EBF≌△DFC,①正确. CB=BC. ,△EBF≌△ABC≌△DFC,∴.EF=AC=DC ∴.△DCB≌△EBC,.∠DBC=∠ECB,∴.HC=HB. 又，△ADC为等边三角形，∴.CD=AD=AC, :点G,F分别为HC,HB的中点， .'.EF=AD=DC. 同理可得DF=AB=AE=BE. HG=1 HC.HF=HB, '.四边形AEFD是平行四边形，②正确. .GH=HF.由(1)知，四边形DEFG是菱形， 若AB=AC,∠BAC=120°，则有AE=AD,∠EAD= ∴.DF=2FH,EG=2GH,∴.DF=EG, 120°，此时四边形AEFD为菱形，③错误.故答案为 ∴.四边形DEFG为正方形. ①②. 方法点拨：本题考查了平行四边形的判定、菱形的判 12(1)证明：，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF 定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理、等腰 ⊥AC,.DE=DF,∠AED=∠AFD=90°， 三角形的性质，其中三角形的中位线性质定理为证 又，AD=AD,∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL), 明线段相等和平行提供了依据 .AE=AF,又AD是△ABC的角平分线， .AD⊥EF 专题练特殊平行四边形中的最值问题 (2)解：△ABC满足∠BAC=90°时，四边形AEDF是 1A解析：如图，连接DE, 正方形. 当D,P,E三点共线时，PD十PE取最小值，最小值为 理由：.∠AED=∠AFD=90°，∠BAC=90°， DE的长， .四边形AEDF是矩形， ,四边形ABCD是菱形，AC=6√5，BD=6, 又，AE=AF,四边形AEDF是正方形 ∴.AB=AD,OB= ⊙)核心素养训陈 号BD=3,0A=号AC=-35,AC 13(1)证明：D,E分别为AC,AB的中点， ⊥BD, ∴ED/BC,ED-2BC ∴.AB=OA+OB=6, ∴.AB=AD=BD=6, 同理，FG/BC,FG=2BC △ABD是等边三角形， :点E是AB的中点， 090九年级数学·上（北师大版） 本资料为出版资源，独家授权学科网，盗版必究！ 北教传媒学利网 ★★独家授权★★ 轻巧夺冠、课堂直播、哈佛英语 参考答案及解析 ·AE=2AB=3,DE⊥AB, 又，PE⊥AB,PF⊥AC, 四边形AEPF是矩形， ∴.DE=√AD-AE区=√62-32=33， ..EF=AP, 即PD十PE的最小值为3.故选A. ∴.当AP值最小时，EF的 2解：(1)如图①，过点P作PM⊥AB于点M,作PN⊥ 值最小 AD于点N. 根据垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP的值最小 ,AC为菱形ABCD的对角线， D 此时，：S=号ABXAC=号APXBC, .∠DAC=∠BAC,AM=AN, PM=PN. ∴.AP=4.8,EF的最小值为4.8. 在Rt△PME和Rt△PNF中， M E B 433解析：如图，作点A关于直线CD的对称点E,作 ① PE-PF,PM=PN, EP⊥AC于点P,交CD于点Q,此 E .Rt△PME≌Rt△PNF, 时AQ十QP最小. ..ME=NF. ,四边形ABCD是矩形， 又：AP=10,∠PAM=2∠DAB=30, ∠ADC=90°，.DQ⊥AE .DE=AD,..QE=QA, .PM=PN=5,..AM=AN=53, ..QA+QP=QE+QP=EP, ..AE+AF=(AM-ME)+(AN-NF)=AM+AN= .此时AQ十QP最短（垂线段最短）. 105. ,∠CAB=30°，∴∠DAC=60°， (2)AP长的最大值为12，最小值为6. 在Rt△APE中， 如图②，