第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（人教A版2019）

班级 姓名 学号 分数 第一章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练） （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，，所以点与、、三点共面． 故选：D． 2．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 3．（2022·河南许昌·高二期末（文））如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，下列判断中正确的个数为（       ） ①直线； ②平面； ③平面ADM． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】设长方体棱长为 ， 以D为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则 故 ， ， 故直线不成立，①不正确； 在长方体中，平面，②正确， 因为， 设平面ADM的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ，则， 而，故， 故平面ADM．不成立，故③错误， 故选：B 4．（2022·湖南·长沙一中高一期末）如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（       ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，，平面，所以平面，平面，所以，即，所以，故A不正确； 对于B， 因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，，平面，所以平面， 平面，所以，即，所以，故B不正确； 对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确． 对于D，因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，，平面，所以平面， 平面，所以，即，所以，故D不正确． 故选：C． 5．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， ∴，令，可得， 又， 设直线与平面所成的角为，则 ，又， ∴当时，有最大值，即直线与平面所成的角最大． 故选：C． 6．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（       ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】如图所示 由题意可知，， 因为为的中点，所以， 所以， 当时，取最小值，此时取最大值， 所以的最大值为4． 故选：A． 7．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是（        ） A．异面直线与所成的角为 B．二面角的正切值为 C．直线与平面所成的角为 D．四面体的外接球体积为 【答案】C 【解析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则， A选项，设异面直线与所成的角为， 则， 故异面直线与所成的角为，A正确； B选项，设平面的法向量为， 则有，令得：， 则， 平面的法向量为， 设二面角的大小为，显然为锐角，则， 所以，，故二面角的正切值为，B正确； C选项，设平面的法向量为， 则令，则， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则， 则，C错误； D选项，四面体的外接球即为正方体的外接球， 设外接球半径为R，则，则外接球体积为，D正确． 故选：C 8．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 由得，即， 由于，所以，， 所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段， 由图知：， 故选：B． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（       ） A．空间向量，若，则 B．若空间四个点，，则三点共线 C．已知向量，若，则