第2章 第10讲 函数的奇偶性与周期性（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第10讲　函数的奇偶性与周期性 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 考向预测：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，其中与函数的单调性、周期性交汇的问题仍将是考查的热点． 核心素养：逻辑推理、直观想象和数学运算. [知识梳理] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)是偶函数 关于__y轴__对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)是奇函数 关于__原点__对称 [注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 2．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最小__的正数，那么这个__最小__的正数就叫做f(x)的最小正周期． [注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论　 (1)函数奇偶性的常用结论 ①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． ②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． ③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． (2)函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量x的值： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． (3)函数对称性的常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．下列函数为偶函数的是(　　) A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x 答案　D 解析 　D项中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数，A，B，C项均不满足f(－x)＝f(x)．故选D项． 3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是____________. 解析 因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝. 答案　 4．(2022·山东枣庄测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________________. 解析 若x<0，则－x>0，所以f(－x)＝(－x)·(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)． 答案　x(1－x) 5．(2022·山东枣庄测试)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝_____________________________. 解析 f＝f＝－4×2＋2＝1. 答案　1 考点一　函数的奇偶性…………多维探究 角度1　判断函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝ 解析 (1)原函数的定义域为，关于原点对称，对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为，关于原点对称．