第2章 第9讲 函数的单调性与最值（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第9讲　函数的单调性与最值 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 考向预测：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用． 核心素养：逻辑推理、数学抽象和数学运算. [知识梳理] 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__增函数__ 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__减函数__ 图象 描述 自左向右看图象是__上升的__ 自左向右看图象是__下降的__ (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是__增函数__或__减函数__，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，__区间D__叫做函数y＝f(x)的单调区间． [注意] 有多个单调区间时应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接． 2．函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意的x∈I，都有__f(x)≤M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)对于任意的x∈I，都有__f(x)≥M__；存在x0∈I，使得__f(x0)＝M__，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 3．函数单调性的常用结论 区间D上单调递增 区间D上单调递减 定义法 x1<x2⇔f(x1)<f(x2) x1<x2⇔f(x1)>f(x2) 图象法 函数图象是__上升__的 函数图象是__下降__的 导数法 导数__大于__零 导数__小于__零 运算法 递增＋递增 递减＋递减 复合法 内外层单调性相__同__ 内外层单调性相__反__ 4.对勾函数的单调性 (1)对勾函数y＝x＋(a>0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；递减区间为(－，0)和(0，)，且对勾函数为奇函数． (2)当x>0时，x＝时取最小值2；当x<0时，x＝－时取最大值－2. 常用结论　 (1)函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在D上单调递增； ②<0或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在D上单调递减． (2)函数最值存在的两条结论 ①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到； ②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (2)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (3)函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为[a，b]．(　　) (4)若f(x)是增函数，g(x)是增函数，则f(x)·g(x)也是增函数．(　　) (5)已知函数y＝f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是减函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex 答案　A 解析 　A项中，y＝在(0，＋∞)上是减函数，y＝x在(0，＋∞)上是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)上是减函数；B，C项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；D项中，y＝ex在(0，＋∞)上是增函数．故选A项． 3．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　) A．(－∞，1] B．[3，＋∞) C．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 答案　B 解析 　设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．故选B项． 4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________________. 解析 因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1<0，即k<－.故k的取值范围是. 答案　 5．函数y＝在[2,3]上的最大值是_____________