第2章 第8讲 函数及其表示（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第二章　函数及其应用 第8讲　函数及其表示 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 考向预测：函数的定义域、函数的解析式以及分段函数是考查的重点，常与对数函数、指数函数等知识综合考查，考查学生的运算能力，考查形式以基础题为主，低档难度． 核心素养：数学运算和数学抽象. [知识梳理] 1．函数与映射的概念 (1)设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射． 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的__定义域__；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的__集合{f(x)|x∈A}__叫做函数的__值域__. (2)函数的三要素：__定义域__、__对应关系__、__值域__. (3)如果两个函数的__定义域__相同，并且__对应关系__完全一致，则这两个函数为相等函数． 3．函数的表示方法 (1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__解析法__. (2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__图象法__. (3)列出表格表示两个变量之间的对应关系的方法叫做__列表法__. 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因__对应关系__不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，它是一类重要的函数． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　) (2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　) (3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(　　) 答案　C 解析 　A项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C项． 3．(2022·山东青岛训练)函数y＝ax2－6x＋7a(a≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a的值为(　　) A．－1 B．－ C．1 D．2 答案　C 解析 　由函数y＝ax2－6x＋7a＝a2＋(a≠0)的值域为[－2，＋∞)知a>0，且＝－2，即7a2＋2a－9＝0，所以a＝1或a＝－(舍去)．故选C项． 4．(2021·浙江)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝__________. 解析 由题意可得f(f())＝f(6－4)＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，故a＝2. 答案　2 5．已知f()＝x－1，则f(x)＝__________. 解析 令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)． 答案　x2－1(x≥0) 考点一　函数的定义域…………自主练透 1．(2021·1月浙江)函数f(x)＝＋的定义域是(　　) A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞) C．[－3，－2)∪(－2，＋∞) D．[－3,2)∪(2，＋∞) 答案　C 解析 　由题意得解得－3≤x<－2 或x>－2.故选C项． 2．(2022·江西抚州模拟)若函数f(x)的定义域为[0,6]，则函数的定义域为(　　) A．(0,3) B．[1,3)∪(3,8] C．[1,3) D．[0,3) 答案　D 解析 　因为函数f(x)的定义域为[0,6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以x≠3，函数的定义域为[0,