第1章 第6讲 一元二次不等式及其解法（word教师用书）-【状元桥】2023高考数学(理科)一轮总复习(老教材 新高考)

第6讲　一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 考向预测：不等式的解法是不等式中的重要内容，“三个‘二次’”之间的联系的综合应用等问题是高考的热点． 核心素养：数学运算和逻辑推理. [知识梳理] 1．一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集 (1)当a>0时，解集为　　. (2)当a<0时，解集为　　. 2．(1)当a<b时，不等式(x－a)(x－b)>0的解集为{x|x<a或x>b}，不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a<x<b}； (2)当a＝b时，不等式(x－a)(x－b)>0的解集为{x|x≠a}，不等式(x－a)(x－b)<0的解集为∅； (3)当a＞b时，不等式(x－a)(x－b)>0的解集为{x|x>a或x<b}，不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|b<x<a}． 3．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 　{x|x＜x1或x＞x2}　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 __{x|x1＜x＜x2}__ __∅__ __∅__ [注意] 解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时，如果条件未给出是一元二次不等式，则要分a＝0和a≠0两种情况讨论． 常用结论　 (1)分式不等式的解法 ①>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． ②≥0(≤0)⇔ (2)记住两个恒成立的充要条件 ①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ ②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ [基础自测] 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)． (1)若不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．设集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝的定义域，则A∩B＝(　　) A．(1,2) B．[1,2]　　 C．[1,2) D．(1,2] 答案　D 解析 　A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}，由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．故选D项． 3．(2021·1月上海)不等式<1的解集为________. 解析 由<1可得－1<0，所以<0，即(x＋7)·(x－2)<0，解得－7<x<2.故原不等式的解集为(－7,2)． 答案　(－7,2) 4．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是______________. 解析 由题意知－，是ax2＋bx＋2＝0的两根，结合根与系数的关系得解得所以a＋b＝－14. 答案　－14 5．(2022·山东实验中学诊断)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是________________. 解析 ①当m＝0时，1>0显然成立；②当m≠0时，由条件知解得0<m<1.由①②知0≤m<1，即m的取值范围是[0,1)． 答案　[0,1) 考点一　一元二次不等式的解法…………师生共研 【例1】 解下列关于x的不等式． (1)0<x2－x－2≤4； (2)≤1； (3)12x2－ax>a2(a∈R)． 解析 (1)原不等式等价于 即 即 解得 故原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}． (2)≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔≥0⇔解得x>－或x≤－2.故原不等式的解集为. (3)因为12x2－ax>a2， 所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0. 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. 当a>0时，－<，不等式的解集为； 当a＝0时，－＝＝0，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，－>，不等式的解集为. 综上，当a>0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0