21.4　二次函数的应用（第2课时） 教案2022--2023学年沪科版九年级数学上册

第21章　二次函数与反比例函数 21.4　二次函数的应用 第2课时 利用二次函数模型解决抛物线型建筑问题 教学目标 1.熟练掌握二次函数模型的相关基础知识. 2.初步体会利用建模的思想解决实际问题的过程. 3.能够初步掌握建立函数模型解决实际问题的基本步骤. 教学重难点 重点：使学生初步掌握建立函数模型解决实际问题的基本步骤，体会建模的数学思想. 难点：建立函数模型解决实际问题. 教学过程 导入新课 【问题1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，若水面下降2 m，则水面宽度增加 m. 探究新知 【活动】学生自主辨析：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2，由抛物线经过点(2，-2)，可得-2＝a×22，解得a＝，所以这条抛物线对应的函数表达式为.当水面下降2 m时，抛物线的纵坐标为-4，则当y＝-4时，得，解得x＝，则此时的水面宽度为m，所以水面下降2 m，水面宽度增加-4m. 【总结】1.通过上述例题的分析，我们可以看出：读题是解决实际问题的重要环节，一定要把实际问题所要表述的内容搞清楚，这需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提. 2.(引导学生通过题目归纳)解决抛物线型的建筑问题的关键： 合理建立平面直角坐标系，设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再由二次函数的性质解决问题. 【问题2】从房屋的窗户的形状如图所示，它的上半部分是四个小扇形组成的半圆，下半部分是由三个相同的小矩形组成，制作窗框的材料总长为15 m，设半圆的半径为x m，窗户的截面面积为S m2. (1)求S与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围； (2)画出(1)中所求函数的图象； (3)当x的长度为多少时，S有最大的值？最大的值是多少？(精确到0.01) 【思考】观察图形思考小矩形的宽与半圆的半径有什么关系？如何利用二次函数结合矩形面积公式列出函数表达式？ 【互动】(引发学生思考，老师指导)试写出解题过程. 解：(1)设矩形的宽为y m， ∵材料的总长为15 m， ∴4y+7x+πx＝15， ∴y＝(15-7x-πx)， 从而S＝2x•(15-7x-πx)+＝-3.5x2+7.5x， 即S＝-3.5x2+7.5x. (2)由(1)知S＝-3.5x2+7.