专题03 正方形-2022-2023学年九年级数学上册同步知识点学习目标+对点训练(北师大版)

特殊的平行四边形——正方形学习目标 1. 正方形的定义 2. 正方形的性质 3. 正方形的判定 目标1： 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 目标2：正方形的性质 正方形的性质： ①正方形的四条边都相等,四个角都是直角； ②正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角； ③正方形是轴对称图形也是中心对称图形. 1. 下列结论不一定成立的是　　 A．平行四边形的对角线平分一组对角 B．矩形的对角线相等 C．菱形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线垂直、平分且相等 【分析】直接根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质进行判断即可． 【解答】解：、平行四边形的对角线平分一组对角，不正确，符合题意； 、矩形对角线相等，正确，不符合题意； 、菱形对角线互相垂直，正确，不符合题意； 、正方形对角线垂直、平分且相等，正确，不符合题意． 故选：． 2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是　　 A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．两组对边分别平行 【分析】通过比较正方形和矩形的性质的不同即可得出结论． 【解答】解：正方形的性质为：对边平行且相等，四条边相等，四个角为直角，对角线互相垂直平分，相等，且每条对角线平分一组对角， 矩形的性质为：对边平行且相等，四个角为直角，对角线互相平分，相等， 正方形具有而矩形不一定具有的性质是：对角线互相垂直， 故选：． 3. 下列说法中错误的是　　 A．平行四边形的对边相等 B．正方形的对角线互相垂直平分且相等 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．矩形的对角线互相垂直且相等 【分析】根据平行四边形的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：平行四边形的对边相等， 选项不符合题意； 正方形的对角线互相垂直平分且相等， 选项不符合题意； 菱形的对角线互相垂直平分， 选项不符合题意； 矩形的对角线相等但不一定互相垂直， 选项符合题意； 故选：． 4. 下列说法正确的是　　 A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解． 【解答】解：．菱形的四个内角不一定都是直角，故选项不符合题意； ．矩形的对角线不一定互相垂直，故选项不符合题意； ．正方形的每一条对角线平分一组对角，故选项符合题意； ．平行四边形不一定是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，已知是正方形对角线上一点，且，则度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质可得，，再根据，在中求出，从而求出度数． 【解答】解：四边形是正方形， ． ， ． 在中，． ． 故选：． 6. 如图，在正方形中，，点，分别是和边上的动点，且始终保持，连接与，分别交于点，，过点作于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的序号是　　 A．①③④ B．①②③⑤ C．②④⑤ D．①②③④ 【分析】把绕点顺时针旋转得，过点作平分，与交于点，连接，证明，得，便可判断①的正误；由得，再根据等角的余角性质，便可判断②的正误；由，，，根据角平分线的性质便可判断③的正误；证明，得， 若不在上，则，此时，，根据三角形外角性质得，便可判断④的正误；证明，得，再由勾股定理得，进而得，再证明，得，便可判断⑤的正误． 【解答】解：把绕点顺时针旋转得，过点作平分，与交于点，连接，如图， 则，，，， ， 、、共线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ， ， ，， ， ， 故②正确； ，，， ， 故③正确； ，， ， 在和中， ， ， ， ， 若不在上，则， 此时，， ，， 此时，， 故④不正确； 平分，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故⑤正确； 故选：． 7. 如图，正方形的边长为，在正方形的右侧作矩形，点在边的延长线上，，点，，在同一条直线上，，连接，点是的中点，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】延长交延长线于，证，得，，则，再由勾股定理得，即可得出结论． 【解答】解：如图，延长交延长线于， 四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：． 8. 如图，把正方形放在直角坐标系中，直角顶点落在第二象限，顶点、分别落在轴、轴上，已知点、，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】由“”可证，可得，可求解． 【解答】解：如图，过点作轴于，轴于， 轴，轴，， 四边形是矩形， ，， 点、，