12.2.8 全等专题-一线三等角模型-【备考无忧】2022-2023学年八年级数学上册同步题型变式突破（人教版）

12.2.8 全等专题-一线三等角模型 知识点管理 夯实双基，稳中求进归类探究 三垂直模型1.基本图形（“K型”三垂直模型） 题型特征：图形的某条线段上出现三个直角，如图中∠B=∠AED=∠C=90° 解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=EC或BE=DC或AE=DE），必证△ABE≌△ECD（AAS或ASA） 证明过程：∵∠B=∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A，∵∠B=∠C=90°，若AB=EC或BE=DC或AE=DE，则△ABE≌△ECD（AAS或ASA）. 2.三种变化图形 （1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L型”三垂直模型 （3）“旋转”三垂直模型 【模型1】（2021·黑龙江大庆·七年级期末）如图，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE． （1）求证：DE=BD+CE． （2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明． 【答案】（1）见解析；（2）BD=DE+CE，理由见解析. 【分析】（1）先证△AEC≌△BDA得出AD＝CE，BD＝AE，从而得出DE＝BD+CE； （2）先证△ADB≌△CEA得出AD＝CE，BD＝AE，从而得出BD＝DE+CE． 【详解】（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE． ∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD； （2）BD＝DE+CE．理由如下： ∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC． ∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD． ∵AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据同角的余角相等可得∠DBA＝∠CAE，熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；对于证明线段的和或差，本题运用全等三角形的对应边相等将三条线段转化到同一直线上，使问题得以解决． 【模型2】（2021·全国·九年级专题练习）如图，AB＝BC， AB⊥BC， AE⊥BD于F，BC⊥CD， 求证：EC＝AB－CD． 【答案】见解析 【分析】利用证明出△ABE≌△BCD，在通过等量代换进行解答． 【详解】证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠ABC＝∠ACD＝90° ∴∠AEB＋∠A＝90° ∵AE⊥BD ∴∠BFE＝90° ∴∠AEB＋∠FBE＝90° ∴∠A＝∠FBE， 又∵AB＝BC， ∴△ABE≌△BCD， ∴AB＝BC，BE＝CD， ∴EC＝BC－BE＝AB－CD 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代换的思想来间接证明． 【模型3】（2021·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为． （1）_____________．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，？ （3）如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或，理由见解析． 【分析】（1）由路程=速度时间，解得，再由即可解题； （2）由全等三角形对应边相等的性质得，即，据此解题； （3）分两种情况讨论，当时或当时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值即可解得的值． 【详解】解：（1）由题意得，， ， 故答案为：； （2）若 则 即 当时，； （3）存在，理由如下： 当时， ； 当时， 综上所述，当或时，与全等． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 备考无忧系列备考无忧系列 21 / 26 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一线三等角模型1.基本模型说明“一线三等角模型” 题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠2=∠C 解题方法：只要题目再出现一组等边（BE=AC或EF=AE或BF=EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA） 证明过程：∵∠1=180°-∠2-∠