12.2.7 全等专题-倍长中线模型-【备考无忧】2022-2023学年八年级数学上册同步题型变式突破（人教版）

12.2.7 全等专题-倍长中线模型 知识点管理 夯实双基，稳中求进归类探究 倍长中线模型三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·宁夏西吉实验中学八年级期中）如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为(     ) A．5＜AC＜15 B．3＜AC＜15 C．3＜AC＜17 D．5＜AC＜17 【答案】C 【分析】延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，然后可得△ABD≌△ECD，则有AB=CE=7，进而根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：延长AD至E，使得DE=AD，连接CE，如图所示： ∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD=CD， ∵∠ADB=∠EDC， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=CE=7， ∵AD＝5， ∴AE＝10， 在△AEC中，根据三角形三边关系可得：3＜AC＜17； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形三边关系是解题的关键． 变式训练 【变式1-1】（2022·安徽合肥·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（　　） A．x＞5 B．x＜7 C．4＜x＜14 D．2＜x＜7 【答案】D 【分析】如图，延长BD至E，使DE=BD，证明△ADE≌△CDB得到AE=BC=9，根据三角形的三边关系求得BE的取值范围即可求解． 【详解】解：如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD， 延长BD至E，使DE=BD=x， 在△ADE和△CDB中， ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE=BC=9，又AB=5， ∵在△BAE中，AE－AB＜BE＜AB+AE， ∴9－5＜BE＜9+5， ∴4＜2x＜14， ∴2＜x＜7， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键． 【变式1-2】（2021·内蒙古·呼和浩特市实验中学八年级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（　　） A．2＜AD＜10 B．4＜AD＜20 C．1＜AD＜4 D．以上都不对 【答案】A 【分析】延长AD到E，使DE=AD，证明，从而求AD的取值范围． 【详解】延长AD到E，使，连接， ∵AD是BC边上的中线， ∴                   即， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了延长线的应用、全等三角形的判定定理以及三角形的两边之和大于第三边，合理地作辅助线是解题的关键． 【变式1-3】（2021·四川南充·八年级期中）在△ABC中，AB=5，AC=7，AD是BC边上的中线，则AD的长度的取值范围是（　　　） A．2＜AD＜12 B．1＜AD＜6 C．5＜AD＜7 D．＜AD＜3 【答案】B 【分析】如图，延长AD到E，使DE=DA，连接CE，则可得△ABD≌△ECD，得出AB=CE，在△ACE中，由三角形三边关系，即可求解结论． 【详解】解：延长AD到E，使DE=DA，连接CE，如图， ∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=CE， 在△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE， 即AC-AB＜AE＜AC+AB， ∴，即， ∴； 故选择：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系问题，能够熟练运用是解此题的关键． 【变式1-4】（2021·山东·临沭县石门镇石门初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（       ） A．2＜AD＜3 B．3＜AD＜5 C．1＜AD＜4 D．2＜AD＜8 【答案】C 【分析】如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：C 【点睛】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键.