12.2.9 全等专题-手拉手模型-【备考无忧】2022-2023学年八年级数学上册同步题型变式突破（人教版）

12.2.9 全等专题-手拉手模型 知识点管理 夯实双基，稳中求进归类探究 手拉手模型概念解读 概念：两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 手的判别： 判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。 2、手拉手模型的定义： 定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。（左手拉左手，右手拉右手） 例如： 3、手拉手模型的重要结论 三个固定结论: 结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS) BC=B'C'（左手拉左手等于右手拉右手） 结论2：∠BOB'=∠BAB' 结论3: AO平分∠BOC' 模型1等腰三角形手拉手模型 【例题1】（2021·上海九年级专题练习）在直线上顺次取，，三点，分别以，为腰在直线的同侧作顶角和均为的两个等腰三角形和． （1）如图1，连结，，且，求的长； （2）如图1，连结，交于点，当时，求的度数； 【答案】（1）6；（2）40°；（3）DE⊥BD 【分析】 （1）由题意易得AB=DB，BE=BC，∠ABE=∠DBC，进而可得△ABE≌△DBC，则问题可求解； （2）由（1）可得∠EBC=∠EFC，进而问题得解； 【详解】 解：（1）由题意得：AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=， ∵∠DBE是公共角， ∴∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE，即∠ABE=∠DBC， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∵， ∴AE=DC=6； （2）由（1）可得：△ABE≌△DBC， ∴∠AEB=∠DCB， ∵∠EBC=∠EAB+∠AEB，∠EFC=∠EAB+∠DCB， ∴∠EBC=∠EFC， ∵， ∴∠EFC=40° 【变式1】（2020·成都市盐道街中学外语学校八年级月考）如图，和都是等腰三角形，其中，，且． （1）如图①，连接BE、CD，求证：． （2）如图②，连接BD、CD，若，，，，求BD的长． 【分析】 （1）先判断出∠BAE=∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论． （2）先求出∠CDA=∠ADE=30°，证，进而求出∠BED=90°，最后用勾股定理即可得出结论． 【详解】 （1）∵， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴． （2）如图所示，连接BE， ∵，，， ∴在等边三角形ADE中，CD平分， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵在等边中，， ∴在中，由勾股定理得， ， 故BD的长为5． 本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出∠BAE=∠CAD，解（2）的关键是判断出BE⊥DE，是一道中等难度的中考常考题． 【变式1-2】（2020·武汉市武珞路中学九年级期中）如图１，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）如图2，在△ABC和△ADE中，∠DAE=∠BAC，AD=AE，AB=AC，∠ADB=90°，点E在△ABC内，延长DE交BC于点F，求证：点F是BC中点． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）或2． 【分析】 （1）因为∠DAE=∠BAC，可以得到∠DAB=∠EAC，因为AD=AE，AB=AC，即可得到△ABD≌△ACE； （2）连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，由（1）可得△ABD≌△ACE，所以∠AEC=90°和CE=BD，可以推出∠BDF=∠CEF，再证明△DBF≌△ECH，所以BF=CH，等量代换即可得到BF=FC，即可解决； 【详解】 解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC ∴∠DAB=∠EAC ∵AD=AE，AB=AC ∴△ABD≌△ACE （2）证明：连接CE，延长EF至点H，取CF=CH，连接CH，如图所示： ∵△ADB≌△AEC ∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90° ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED ∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90° ∴∠EDB=∠CEH ∵CF=CH ∴∠CFH=∠CHF ∴∠DFB=∠H ∵CE=BD ∴△DBF≌△ECH ∴BF=CH ∴BF=CF ∴点F是BC的中点 【点睛】 本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键． 【变式1-3】（2020·湖北·大冶市实验中学八年级阶段练习）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连接CH. (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求证：CH平分∠AHE； (3)求∠CHE的度数．(用含α的式子表示) 【答