12.3角平分线的性质-【高效导学】2022-2023学年八年级数学上册同步多维突破讲与练（人教版）

人教版八年级数学上册《第十一章 三角形》 课题：12.3 角平分线的性质 知识点梳理 ★★★角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ●●注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE ★★★角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线的判定语言：如图，∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，∴C在∠AOB的平分线上. ★★★三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等. ★★★用尺规作已知角的平分线的步骤： （1） 以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边于两点； （2）分别以这两点为圆心，以大于这两点间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于角内一点；（3）过角的顶点和这个交点作射线，即得已知角的平分线. 知识点训练 角的平分线的作法知识点 一 1．（2021秋•川汇区期中）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 【解答】解：连接NC，MC， 在△ONC和△OMC中，， ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 2．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线： 在已知的∠AOB的两边上，分别取　 　，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可利用　 　（填写判定方法）证明△POM≌△PON，然后根据　 　得∠POM＝∠PON，则OP平分∠AOB． 【分析】根据作图的作法得到OM＝ON，根据全等三角形的判定定理得到HL，根据全等三角形的性质得到结论． 【解答】解：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，可利用HL（填写判定方法）证明△POM≌△PON，然后根据全等三角形的对应角相等得POM＝∠PON，则OP平分∠AOB． 故答案为：OM＝ON，HL，全等三角形的对应角相等． 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定方法． 3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）做∠A的平分线交BC于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若再作∠B的平分线交AD于点P，则∠APB的度数为　 °． 【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠A的平分线交BC于点D； （2）结合（1）根据三角形内角和定理即可求出∠APB的度数． 【解答】解：（1）如图AD即为所求； （2）∵∠C＝90°． ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵AD平分∠BAC，BP平分∠ABC， ∴∠BAP+∠ABPBACABC（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠APB＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，解决本题的关键是掌握角平分线分作法． 角的平分线的性质知识点 二 4．（2022春•武功县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．DE⊥AB于点E，若CD＝4cm，则DE的长为 　 　cm． 【分析】由角平分线的性质可得DC＝DE，结合CD＝4cm可求解． 【解答】解：∵∠C＝90° ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵CD＝4cm， ∴DE＝4cm， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，利用角平分线上的点到角的两边的距离求得DC＝DE是解题的关键． 5.（2022•湖北模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝10， S△ABD＝20，则CD的长为 　 　． 【分析】过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DH＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DH＝CD， ∴S△ABDAB•DH10•DH＝20， 解得DH＝4， ∴CD＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等