专项03 三角形角度计算常考模型-2022-2023学年八年级数学上册高分突破必练专题（人教版）

专项03 三角形角度计算常考模型 【考点1 “8字”模型】 【结论】∠A+∠B=∠D+∠E. 【考点2 飞镖模型】 【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C. 【考点3 “风筝”模型】 【结论】∠PBD+∠PCD=∠A+∠P 【考点1 “8字”模型】 【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数． （3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系． 【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠P＝45° （3）2∠P＝∠B+∠D 【解答】解：（1）由题知，∠A+∠D＝∠DOB＝∠C+∠B， ∴∠A+∠D＝∠C+∠B， 故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B； （2）由（1）可得，∠DAO+∠D＝∠OCB+∠B，① 同理可得，∠DAM+∠D＝∠OCP+∠P， ∵∠DAB和∠BCD的平分线是AP和CP， ∴∠DAO+∠D＝∠OCB+∠P，② 由②×2﹣①得，∠D＝2∠P﹣∠B， 即2∠P＝∠D+∠B， ∴2∠P＝50°+40°， 故∠P＝45°； （3）由（2）可知2∠P＝∠B+∠D． 【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】A 【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD， ∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D ∴30°+20°＝40°+α， ∴α＝10° 故选：A． 【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°， ∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC． 又∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC． ∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG． 同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE． ∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE． ∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E， ∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE． ∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）． ∴∠A+∠C＝2∠P． 又∵∠A＝45°，∠P＝40°， ∴∠C＝35°． 故选：B 【变式1-3】（2022春•渝中区校级期中）如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．90° C．270° D．240° 【答案】A 【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O， 由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC， 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°， 即五角星的五个内角之和为180°． 故选：A． 【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　　°． 【答案】360 【解答】解：如图，延长DE交AB于点G， 由三角形外角性质可知： ∠1＝∠F+∠DEF，∠2＝∠1+∠A， ∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A， ∴在四边形BCDG中，由四边形内角和可知： ∠B+∠C+∠D+∠2＝360°， ∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°． 故答案为：360． 【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　°． 【答案】180 【解答】解：如图，设线段BD，BE分别与线段AC交于点N，M． ∵∠AMB＝∠A+∠E，∠DNC＝∠B+∠AMB，∠DNC+∠D+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°， 故答案为：180． 【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　； （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个； （3）图2中，当∠