专题01 空间角度与距离归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间角度与距离归类 目录 热点题型归纳 【题型一】线面角基础 1 【题型二】二面角基础 4 【题型三】异面直线所成的角 7 【题型四】给角求角（值）1：线面角 10 【题型五】给角求角（值）2：二面角 12 【题型六】探索性动点型1：线面角 15 【题型七】探索性动点型2：二面角 17 【题型八】翻折中的角度 20 【题型九】角度范围与最值 22 【题型十】距离与长度（体积） 26 分阶培优练 培优第一阶——基础过关练 32 培优第二阶——能力提升练 37 培优第三阶——培优拔尖练 42 【题型一】线面角基础 【典例分析】 如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求证：平面；(2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）取中点，连，，由线面平行的判定定理可得平面，平面，再由面面平行的判定定理可得平面平面及性质定理可得答案； （2）过作交于，利用得，由线面垂直的判定定理可得平面，面面垂直的判定定理可得答案； （3）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案. （1）如图，取中点，连，，∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面，同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面，又平面，所以平面． （2）如上图，在四边形中，过作交于，在中，得，，，则，得，∵，∴， 又由已知条件，，平面，故平面，又平面，∴平面平面． （3）∵为等腰三角形，∴，又因为平面，以为原点建立空间直角坐标系，如图：可得，，，，，，，设平面的法向量为，，，根据，得，解得，，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值． 【提分秘籍】 基本规律 直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，） 【变式训练】 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为，的中点， (1)证明：平面. (2)若平面，，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的法向量，再求线面角. （1）证明：取的中点，连接，.因为，分别为，的中点，所以，，又底面为菱形，所以，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面. （2）因为平面，，所以以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，得，设直线与平面所成的角为，则 【题型二】二面角基础 【典例分析】 如图，在四棱锥中，是直角三角形，，四边形是等腰梯形，，，. (1)证明：； (2)若平面平面，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】 【分析】 （1）取AB中点E，取AE中点F，由题可得，，进而可得平面DFP，即得； （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法即得. （1）如图，取AB中点E，连接DE，EP，取AE中点F，连接DF，FP，由题意可知，和为全等的等边三角形.因为，，且，所以平面DFP，又因为平面DFP，所以. （2）因为平面平面，且，所以平面.以为坐标原点，，，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，平面的一个法向量.设平面的一个法向量，则，即，可取，所以，所以平面与平面的夹角的正弦值为. 【提分秘籍】 基本规律 二面角（法向量的方向角，） 判断正负方法： （1） 观察法； （2） 同进同出互补，一进一出相等； 【变式训练】 如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上. (1)求证：平面；(2)若平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】 （1）根据面面垂直性质定理得平面，进而证明，再根据集合关系证明即可证明结论； （2）根据题意，为的中点，进而以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （1）证明：因为平面平面且交线为，又平面且，所以平面，又平面，所以.因为是边长为2正方形，所以，又，所以，即，又因为，平面，所以平面. （2）解：因为平面，平面，平面平面，所以，因为为的中点，所以为的中点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则有，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，取，则，设平面与平面所成夹角为，则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 【题型三】异面直线所成的角 【典例分析】 如图所示，是棱长为1的正方体. (1)设的重心为O，求证：直线平面； (2)设E､F分别是棱､上的点，且，M为棱的中点，若异面直线与EF所成的角的余弦值为，求a的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】 （1