2.2 直线与圆的位置关系-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

2.2 直线与圆的位置关系 【知识点梳理】 知识点一：直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2．直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 知识点诠释： （1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得． （2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理． （3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决． 知识点二：圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点诠释： 因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是 ． 知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【题型归纳目录】 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 题型三：由直线与圆的位置关系求参数 题型四：求直线与圆的交点坐标 题型五：求过圆上一点的切线方程 题型六：求过圆外一点的切线方程 题型七：求切线长 题型八：已知切线求参数 题型九：求弦长问题 题型十：已知弦长求参数 题型十一：切点弦问题 题型十二：最值问题 题型十三：三角形面积问题 【典型例题】 题型一：不含参数的直线与圆的位置关系 例1．（2022·西藏·林芝市第二高级中学高一期末）圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径 圆心到直线2x+y+1＝0的距离 由，可得圆与直线的位置关系为相交． 故选：C 例2．（2022·湖南·平江县第三中学高一期中）圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【解析】将圆的方程化为标准方程：， 得圆心坐标为，半径 则圆心到直线的距离 因为，所以圆与直线相离． 故选：B 例3．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线与圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【解析】圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切． 故选：B 【方法技巧与总结】 判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题． 题型二：含参数的直线与圆的位置关系 例4．（2022·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系为（       ） A．相切 B．相交 C．相离 D．由的取值确定 【答案】A 【解析】因为圆心到直线的距离，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切． 故选：A． 例5．（2022·全国·高二专题练习）圆与直线的位置关系为（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】直线可化为，所以恒过定点． 把代入，有：， 所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交． 故选：C 例6．（2022·山东滨州·二模）已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（       ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】D 【解析】直线，即， 由解得，因此，直线恒过定点， 又圆，即，显然点A在圆C外， 所以直线与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A，B，C都不正确，D正确． 故选：D 例7．（2022·江苏·高二专题练习）直线与圆的位置关系是（       ） A．相切 B．相离 C．相交 D．