2.4.2 简单幂函数的图象和性质-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂45分钟课时练（北师大版）

(２)由函数f(x)是定义在(－１,１)上的奇函数且 f(t－１)＋f(t)＜０,得f(t－１)＜－f(t)＝f(－t), 又由(１)可知函数f(x)在(－１,１)上是增函数,所以 有 －１＜t－１＜１, －１＜－t＜１, t－１＜－t{ ⇒０＜t＜ １ ２． 所以不等式的解集 是 t０＜t＜１２{ }． １１．解:(１)∵f(x)＝１２x ２－x＋３２ ＝１２ (x２－２x＋３)＝１２ (x－１)２＋１, ∴f(x)的顶点坐标为(１,１), 单调递减区间是(－∞,１], 单调递增区间是[１,＋∞)． (２)假设存在实数a满足条件． ∵x＝１是f(x)＝１２x ２－x＋３２ 的对称轴, 故[１,a]是函数f(x)的单调递增区间 且 f (１)＝１, f(a)＝a．{ ∵f(a)＝１２a ２－a＋３２ ,∴１２a ２－a＋３２＝a , ∴a＝１或a＝３．又a＞１,∴a＝３． ∴存在 实 数 a＝３ 使 f(x)的 定 义 域 和 值 域 均 为[１,a]． １２．解:(１)f(x)在[－１,１]上单调递增．证明如下: 任取x１,x２∈[－１,１],且x１＜x２,则－x２∈[－１, １], 又f(x)是奇函数, 所以 f(x１)－f(x２)＝f(x１)＋f(－x２)＝ f(x１)＋f(－x２) x１＋(－x２) 􀅰(x１－x２), 由已知得f (x１)＋f(－x２) x１＋(－x２) ＞０,x１－x２＜０, 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． 所以f(x)在[－１,１]上单调递增． (２)因为f(１)＝１,且f(x)在[－１,１]上单调递增,所 以在[－１,１]上f(x)≤１． 问题转化为m２－２nm＋１≥１,即m２－２nm≥０对任 意n∈[－１,１]恒成立． 设g(n)＝－２mn＋m２,则 ①若m＝０,则g(n)＝０≥０对n∈[－１,１]恒成立; ②若m≠０,则g(n)为关于n的一次函数,若g(n)≥０ 对n∈[－１,１]恒 成 立,则 必 须 g (－１)≥０ g(１)≥０{ ,解 得 m≤－２或m≥２． 综上所述,实数 m 的取值范围为(－∞,－２]∪[２, ＋∞)∪{０}． １３．解:(１)y＝f(x)＝４x ２－１２x－３ ２x＋１ ＝２x＋１＋ ４ ２x＋１ －８, 设u＝２x＋１,x∈[０,１],则y＝u＋４u－８ ,u∈[１,３]． 由已知性质,得当１≤u≤２,即０≤x≤１２ 时,f(x)单 调递减,所以f(x)的单调递减区间为[０,１２ ]; 当２≤u≤３,即１２≤x≤１ 时,f(x)单调递增, 所以f(x)的单调递增区间为[１２ ,１]． 由f(０)＝－３,f(１２ )＝－４,f(１)＝－１１３ ,得f(x)的 值域为[－４,－３]． (２)因为g(x)＝－x－２a,x∈[０,１]为减函数,所以 g(x)∈[－１－２a,－２a]． 由题意,得f(x)的值域是g(x)的值域的子集,所以 －１－２a≤－４ －２a≥－３{ ,所以a＝ ３ ２． １４．解:(１)因为对于任意x１,x２∈D, 有f(x１􀅰x２)＝f(x１)＋f(x２), 令x１＝x２＝１,得f(１)＝２f(１),所以f(１)＝０． (２)f(x)为偶函数． 证明如下: 令x１＝x２＝－１,有f(１)＝f(－１)＋f(－１),所以 f(－１)＝１２f (１)＝０． 令x１＝－１,x２＝x有f(－x)＝f(－１)＋f(x)． 所以f(－x)＝f(x),所以f(x)为偶函数． (３)依题意有f(４×４)＝f(４)＋f(４)＝２, 由(２)知,f(x)是偶函数,所以f(x－１)＜２,f(|x－１|)＜ f(１６)． 又f(x)在(０,＋∞)上是增函数, 所以０＜|x－１|＜１６, 解得－１５＜x＜１７且x≠１, 所以x的取值范围是{x|－１５＜x＜１７且x≠１}． ４．２　简单幂函数的图象和性质 １．D　２．B　３．B ４．A　[对幂函数f(x)＝x－ ３ ２ ＝ １ x３ : (１)f(x)的定义域是{x|x＞０,x∈R},因此 A不正确; (２)f(x)的值域是(０,＋∞),B正确; (３)f(x)的图象只在第一象限,C正确; (４)f(x)在(０,＋∞)上递减,D正确．] ５．BD　[当α＝－１时,y＝x－１＝１x ,为奇函数,但值域 为{y|y≠０},不满足条件;当α＝１时,y＝x为奇函数, 值域为R,满足条件;当α＝２时,y＝x２ 为偶函数,值 域为{y|y≥０},不满足条件;当α＝３时,y＝x３ 为奇函 数,值域为R,满足条件．故选B、D．] ６．BC　[由函数f(x)为幂函数可知m２－m－１＝１,解得 m＝－１或m＝２．当 m＝－１时,f(x)＝１x３ ;当 m＝２ 时,f(x)＝x３．由题意知函数f(x)在(０,＋