2.4.1 函数的奇偶性-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂45分钟课时练（北师大版）

取得最大值３,故函数的值域为[－１,３],由g(x)＝a 有解,知a∈g(x)的值域,即－１≤a≤３,C正确;在 D 中,∀x∈[－２,２],∃t∈[０,３],f(x)＝g(t)等价于 f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是 [－３,５],g(t)的值域是[－１,３],D错误．] ７．解析:f(x)＝ ２xx＋１＝ ２(x＋１)－２ x＋１ ＝２－ ２ x＋１ 在[１,２] 上是增函数,所以f(x)max＝f(２)＝ ４ ３ ,f(x)min＝ f(１)＝１． 答案:４ ３ ,１ ８．解析:f(x)＝a(x＋１)２－a＋１的对称轴x＝－１,又 a＞０,所以f(x)max＝f(２)＝８a＋１＝４,解得a＝ ３ ８． 答案:３ ８ ９．解析:根据题意,得二次函数f(x)＝－ １２x ２＋x＝ －１２ (x－１)２＋１２ 图象的对称轴为直线x＝１,最大值 为１ ２． ①当m＜n≤１时,f(x)在[m,n]上单调递增, 则 f(m)＝－１２m ２＋m＝３m, f(n)＝－１２n ２＋n＝３n． ì î í ïï ï 解得m＝－４,n＝０,此时m＋n＝－４; ②当m＜１＜n时,f(x)的最大值为f(１)＝１２＝３n ,解 得n＝１６ ,与m＜１＜n矛盾,不符合题意; ③当１≤m＜n时,f(x)在[m,n]上单调递减, 若f(x)的值域为[３m,３n],则必有３n≤１２ ,解得n≤ １ ６ ,不符合题意．故m＝－４,n＝０． 答案:－４　０ １０．(１)证明:设x１,x２ 是区间[２,３]上的任意两个实数, 且x１＜x２,则 f(x１)－f(x２)＝－ ２ x１－１ ＋ ２x２－１ ＝ ２(x１－x２) (x１－１)(x２－１) ∵２≤x１＜x２≤３, ∴x２－x１＞０,x１－１＞０,x２－１＞０． ∴f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２)． ∴函数f(x)＝－ ２x－１ 在[２,３]上是增函数． (２)由(１),得f(x)在[２,３]上的最大值是f(３)＝－１,最 小值是f(２)＝－２． １１．解:设t＝ １３－４x(t≥０),则x＝１３－t ２ ４ , ∴y＝２×１３－t ２ ４ －１－t＝－ t２ ２－t＋ １１ ２＝－ １ ２ (t＋ １)２＋６． ∵t≥０, ∴y＝f(t)＝－１２ (t＋１)２＋６在[０,＋∞)上为减函 数,且有f(t)≤f(０), ∴当t＝０,即x＝１３４ 时,y有最大值,为１１２． １２．解:(１)证明:任取x１,x２∈(０,＋∞),且x１＜x２,则 x２－x１＞０,x１x２＞０,∴f(x２)－f(x１)＝ １ a － １ x２ － １ a－ １ x１( ) ＝ １ x１ － １x２ ＝ x２－x１ x１x２ ＞０,∴f(x２)＞ f(x１),∴f(x)在(０,＋∞)上是单调递增函数． (２)由(１)知f(x)在 １２ ,２[ ] 上单调递增, ∴f １２( )＝ １ ２ ,f(２)＝２,易得a＝２５． １３．解:f(x)＝(x－a)２＋２－a２ 的图象开口向上,且对 称轴为直线x＝a． 　　　(１)　　　　　　(２)　　　　　　　(３) 当a≥１时,函数f(x)的大致图象如图(１)中的实线 部分所示,函数f(x)在区间[－１,１]上是减函数,最 小值为f(１)＝３－２a; 当－１＜a＜１时,函数f(x)的大致图象如图(２)中的 实线部分所示,函数f(x)在区间[－１,１]上先减后 增,最小值为f(a)＝２－a２;当a≤－１时函数f(x) 的大致图象如图(３)中的实线部分所示,函数f(x)在 区间[－１,１]上是增函数,最小值为f(－１)＝３＋２a． 于是f(x)min＝ ３＋２a,a≤－１ ２－a２,－１＜a＜１ ３－２a,a≥１{ ． １４．解:(１)∵f x１ x２ æ è ç ö ø ÷＝f(x１)－f(x２), 则令x１＝x２,可得f(１)＝０． (２)任取x１,x２∈(０,＋∞),且x１＞x２,则 x１ x２ ＞１, 因为当x＞１时,f(x)＜０,所以f x１ x２ æ è ç ö ø ÷ ＝f(x１)－ f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２), 所以f(x)在(０,＋∞)上单调递减． (３)∵f(３)＝－１,∴f ９３( )＝f(９)－f(３), 即f(９)＝２f(３)＝－２, 由(２)可知f(x)在[２,９]上单调递减, ∴f(x)在[２,９]上的最小值为f(９)＝－２． §４　函数的奇偶性与简单的幂函数 ４．１　函数的奇偶性 第１课时　函数奇偶性的概念 １．B　[由函数图象可得f(－１)＝２,又函数为奇函数, 则f(１)＝－f(－１)＝－２,故选B．] ２．C　 [因 为 函 数 f(x)为 奇 函 数,所 以 f(－x)＝ －f(x),所以f(x)－f