2.3.1 函数的单调性和最值-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【创新教程】五维课堂45分钟课时练（北师大版）

(２)当０＜a＜２时,由f(a)＝２a＋１＝４, 得a＝３２ , 当a≥２时,由f(a)＝a２－１＝４,得a＝５或a＝－ ５(舍 去)． 综上所述,a＝３２ 或a＝ ５． １１．解:(１)设t＝ x＋１,则x＝(t－１)２(t≥１)． 代入原式,有f(t)＝(t－１)２＋２(t－１)＝t２－２t＋１＋ ２t－２＝t２－１,所以f(x)＝x２－１(x≥１)． (２)因为f(x)是一次函数,可设f(x)＝ax＋b(a≠ ０), 所以３[a(x＋１)＋b]－２[a(x－１)＋b]＝２x＋１７． 即ax＋(５a＋b)＝２x＋１７,因此应有 a＝２, ５a＋b＝１７,{ 解 得 a＝２, b＝７．{ 故f(x)的解析式是f(x)＝２x＋７． (３)因为２f(x)＋f １x( )＝３x, ① 所以得x用１x 替换,得２f １x( )＋f(x)＝ ３ x , ② 由①②解得f(x)＝２x－１x (x≠０), 即f(x)的解析式是f(x)＝２x－１x (x≠０)． １２．解:(１)由题意设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０),∵f(０) ＝１,∴c＝１,则f(x)＝ax２＋bx＋１,∵f(x＋１)－ f(x)＝a(x＋１)２＋b(x＋１)＋１－ax２－bx－１＝２ax ＋a＋b＝２x, ∴２a＝２,a＋b＝０,∴a＝１,b＝－１, 故f(x)＝x２－x＋１． (２)f(x)＝x２－x＋１＝ x－１２( ) ２ ＋３４ , 易知f(x)在[－１,１]上的最大值为３,最小值为３４ , 故f(x)在[－１,１]上的值域为 ３４ ,３[ ]． １３．解:如图,过点A,D 分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足 分别是G,H． 因为ABCD 是等腰梯形,底角为４５°,AB＝２ ２cm, 所以BG＝AG＝DH＝HC＝２cm, 又BC＝７cm,所以AD＝GH＝３cm． 当点F 在BG 上,即x∈(０,２]时,y＝１２x ２;当点F 在GH 上,即x∈(２,５]时,y＝２＋(x－２)􀅰２＝２x－２;当 点F 在 HC 上,即x∈(５,７)时,y＝S五边形ABFED ＝ S梯形ABCD－SRt△CEF＝１０－ １ ２ (７－x)２． 综上,y＝ １ ２x ２,　x∈(０,２], ２x－２,　x∈(２,５], －１２ (x－７)２＋１０,　x∈(５,７)． ì î í ï ï ï ï １４．解:因为f(２)＝１,所以 ２２a＋b＝１ , 即２a＋b＝２,① 又因为f(x)＝x 有唯一解,即 xax＋b＝x 有唯一解, 所以ax２＋(b－１)x＝０有两个相等的实数根, 所以Δ＝(b－１)２＝０,即b＝１．代入①得a＝１２． 所以f(x)＝ x１ ２x＋１ ＝ ２xx＋２． 所以f(f(－３))＝f －６－１( )＝f(６)＝ ２×６ ６＋２＝ ３ ２． §３　函数的单调性和最值 第１课时　函数的单调性 １．B　[由图象,可知函数y＝f(x)的单调递减区间有２ 个．故选B．] ２．D　[因为f(x)是R上的减函数,且a２＋１＞a２,所以 f(a２＋１)＜f(a２)．故选 D．] ３．B　[由已知,得f(０)＝－１,f(３)＝１,∴－１＜f(x)＜１等 价于f(０)＜f(x)＜f(３)．∵f(x)在 R上单调递增,∴０ ＜x＜３．] ４．B　[依题意,函数f(x)的图象关于直线x＝－２对 称,所以m＝－８,因此f(１)＝２＋８＋３＝１３．故选B．] ５．CD　[y＝|x|＋１＝－x＋１(x＜０)在(－∞,０)上为减 函数;y＝|x|x ＝－１ (x＜０)在(－∞,０)上既不是增函 数也不是减函数;y＝－x ２ |x|＝x (x＜０)在(－∞,０)上 是增函数;y＝x＋ x|x|＝x－１ (x＜０)在(－∞,０)上也 是增函数,故选C、D．] ６．BC　[因为函数f(x)＝－x２＋２x＋１的定义域为(－２, ３),对称轴为直线x＝１,开口向下,所以函数f(|x|)满足 －２＜|x|＜３． 所以－３＜x＜３． 又f(|x|)＝－x２＋２|x|＋１＝ －x２＋２x＋１,０≤x＜３, －x２－２x＋１,－３＜x＜０,{ 且y＝－x２－２x＋１图象的对称轴为直线x＝－１, 所以由二次函数的图象与性质可知,函数f(|x|)的单 调递增区间是(－３,－１)和(０,１)．故选B、C．] ７．解析:由一次函数性质可得１－２a＞０,解得a＜１２． 答案:a＜ １２ ８．解析:因为f(２)＝０,所以f(x－１)＞０＝f(２),因为 f(x)在R上的单调递减,所以x－１＜２,即x＜３． 答案:(－∞,３) ９．解析:当a－２＝０,即a＝２时,f(x)＝x＋３在[２,＋ ∞]上是增函数; 当a－２＞０,即a＞２时,二次函数的图象开口向上,对 称轴方程为x＝－ a－１２(a－２) ,要使函数f(