2.3 圆与圆的位置关系-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

2.3 圆与圆的位置关系 2.3 圆与圆的位置关系 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 圆与圆位置关系的判定 3 二、典型题型 4 题型1 由圆的位置关系确定参数或范围 8 题型2 相交圆的公共弦方程 13 三、难点题型 13 题型1 两圆的公共弦长 17 题型2 圆的公切线 19 四、活学活用培优训练 32 一．基础知识点 知识点1 圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 一元二次方程 例1 已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 【详解】 由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4， 两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B. 例2 （多选题）点在圆上，点在圆上，则（       ） A．的最小值为3 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C. 【详解】 根据题意，圆，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径，圆心距>R+r，故两圆外离，故D错误； 则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确； 对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C正确. 故选：ABC. 例3 已知圆和． (1)求证圆和圆相交； (2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长； (3)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)， (3)或 【解析】 【分析】 （1）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系； （2）将两圆方程作差可得公共弦方程，利用垂径定理可得公共弦长； （3）当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设为，利用点到直线的距离等于半径列方程求解. (1) 由已知圆，圆心，半径 ，圆心，半径， 则， 又 则圆和圆相交； (2) 将两圆方程相减得，即， 圆和圆的公共弦所在直线的方程为 圆心到公共弦的距离为 公共弦长为. (3) 若过点的直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，符合题意 若过点的直线斜率存在时，设为，即， 则，解得 ，即 综合得过点且与圆相切的直线方程为或 二．典型题型 题型1 由圆的位置关系确定参数或范围 解题技巧：判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤： 1化成圆的标准方程，写出圆心和半径； 2计算两圆圆心的距离d； 3通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合. 例1 已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意求出的距离，得到 P 的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案． 【详解】 由题可知圆O 的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆 O 的两条切线， 切点分别为A，B，使得，则， 在中，， 所以点 在圆上， 由于点 P 也在圆 M 上，故两圆有公共点. 又圆 M 的半径等于1，圆心坐标， ， ∴， ∴. 故选：D. 例2 （多选题）设有一组圆，下列命题正确的是（       ） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．存在圆经过点（3，0） C．存在定直线始终与圆相切 D．若圆上总存在两点到原点的距离为1，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于A，考查圆心的横纵坐标关系即可判断； 对于B，把， 代入圆方程，由关于的方程根的情况作出判断； 对于C，判断圆心到直线 距离与半径的关系即可； 对于D，圆与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答． 【详解】 解：根据题意，圆，其圆心为，半径为2， 依次分析选项： 对于A，圆心为，其圆心在直线上，A正确； 对于B，圆， 将代入圆的方程可得， 化简得，，方程无解， 所以不存在圆经过点，B错