2.2 直线与圆的位置关系-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

2.2 直线与圆的位置关系 2.2 直线与圆的位置关系 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 直线与圆的三种位置关系及判定 4 二、典型题型 4 题型1 由直线与圆的位置关系求参数 8 题型2 直线与圆的位置关系求距离的最值 12 三、难点题型 12 题型1 圆的切线方程 17 题型2 圆的弦长与弦心距 22 题型3 直线与圆的应用 26 四、活学活用培优训练 42 一．基础知识点 知识点1 直线与圆的三种位置关系及判定： 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 零个 一个 两个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ 比较d 与r的 大小 d＞r d＝r d＜r 代数法：由 依据方 程组解 的情况 方程组无解 方程组只有一组解 方程组有两组不同解 例1 不论k为何值，直线都与圆相交，则该圆的方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 判断所给的圆是否与直线 始终相交的依据是 直线所过的定点（-4，1）是否在该圆内或圆上. 【详解】 ，   ，∴直线恒过点P（—4，1） ， 对于A，圆心为（2，-1），半径为5，P到圆心的距离为：     ， 即P点不在该圆内； 对于B，圆心为（-1，-2），半径为5，P到圆心的距离为 ， 故点P在该圆内； 对于C，圆心为（3，-4），半径为5，P点到圆心的距离为 ， 故点P不在该圆内； 对于D，圆心为（-1，-3），半径为5，点P到圆心的距离为 ， 点P该在圆上，可能相切也可能相交； 故选：B. 例2 （多选题）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（       ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，逐一分析各选项即可求解. 【详解】 解：对于选项A：∵点在圆上，∴， ∵圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相切，故A选项正确； 对于选项B：∵点在圆内，， ∵圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相离，故B选项正确； 对于选项C：∵点在圆外，∴， ∵圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相交，故C选项错误； 对于选项D：∵点在直线上，∴， ∵圆心到直线的距离为， ∴直线与圆相切，故D选项正确． 故选：ABD． 例3 已知圆，直线． (1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系； (2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长． 【答案】(1)圆心，半径，与圆相交； (2)﹒ 【解析】 【分析】 （1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C和半径r，求出直线l经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l与圆的位置关系； （2）求出圆心到直线的距离d，根据即可求弦长． (1) 由题设知圆：， ∴圆的圆心坐标为C，半径为r＝． 又直线可变形为：，则直线恒过定点， ∵， ∴点在圆内，故直线必定与圆相交． (2) 由题意知， ∴直线l的斜率， ∴圆心到直线：的距离， ∴． 二．典型题型 题型1 由直线与圆的位置关系求参数 解题技巧：直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 例1 若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解. 【详解】 解：由得， 所以直线与半圆有个公共点， 作出直线与半圆的图形，如图： 当直线经过点时，， 当直线与圆相切时，，解得或（舍）， 由图可知，当直线与曲线有个公共点时，， 故选：B. 例2 （多选题）已知直线，圆，则下列说法正确的是（       ） A．直线与圆一定有公共点 B．当时直线被圆截得的弦最长 C．当直线与圆相切时， D．圆心到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由圆的方程可得圆心的坐标及半径，因为直线l过定点，且点在圆E外，可得A不正确； 当时可得直线l过圆心，所以B正确； 直线l与圆相切时可得，所以C正确， 当ME与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，且为，判断D正确． 【详解】 由题意知直线过定点，且点在圆外部，所以错误；当时，的方程为，直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确；当与圆相切时，，解得，故C正确；当与垂直时，圆心到