2.1 圆的方程-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

2.1 圆的方程专题详解 2.1 圆的方程 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 圆的标准方程 3 知识点2 点圆位置关系 6 知识点3 圆的一般方程 10 二、典型题型 10 题型1 由圆的一般方程确定圆心和半径 14 题型2 由点圆位置关系求参数 17 题型3 圆的弧长、圆心角、面积等计算 21 三、难点题型 21 题型1 圆的对称性的应用 23 题型2 定点到圆上点的最值（范围） 25 题型3 圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 27 题型4 过圆内定点弦长的最值（范围 ） 30 四、活学活用培优训练 42 一．基础知识点 知识点1 圆的标准方程：(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 例1 圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 直接写出标准方程，即可得到答案. 【详解】 圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为. 故选：B 例2 （多选题）以A（1，1），B(3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（       ） A．圆心的坐标为（2，2） B．圆心的坐标为（2，-2） C．圆心的坐标为（-2，2） E．圆的方程是 【答案】BE 【解析】 【分析】 根据AB的中点坐标为圆心，为半径，即可求解结果． 【详解】 AB的中点坐标为，则圆心的坐标为 又，则圆的半径为 所以圆的方程是 故选：BD 例3 已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 (1)求圆C的方程； (2)已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长. (1) 由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； (2)由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：． 知识点2 点圆的位置关系：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 例1 若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（       ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得，圆心到直线的距离小于半径，得到，故点在圆外． 【详解】 直线与圆有两个不同的交点， 圆心到直线的距离小于半径， 即，，故点在圆外， 故选：B． 例2 （多选题）点在圆的内部，则的取值可能是（       ） A．-2 B． C． D．2 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据点圆的位置关系，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】 因为点在圆的内部， 所以，所以选项BC符合题意， 故选：BC 例3 已知两点和，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，是在圆上、在圆内、还是在圆外. 【答案】；在圆外，在圆上，在圆内. 【解析】 【分析】 线段的中点为圆心，线段的长度为直径，据此即可求出圆的标准方程.分别计算M、N、P到圆心的距离，和半径比较即可判断它们与圆的位置关系. 【详解】 由题可知圆心坐标为(4，6)，圆的半径， ∴圆的标准方程为. 分别计算点M、N、P到圆心(4，6)的距离： ， ， . ∴在圆外，在圆上，在圆内. 知识点3 圆的一般方程：(1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程． 其中圆心为，圆的半径为r＝． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示圆． ②D2＋E2－4F＝0时表示点． ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 例1 圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（　 　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】 利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系即可. 【详解】 圆x2＋y2－2x＋4