1.5 平面上的距离-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

1.5 平面上的距离 1.5 平面上的距离 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 两点间的距离与中点坐标公式 3 知识点2 点到直线的距离 6 知识点3 两条平行直线间的距离 10 二、典型题型 10 题型1 由顶点坐标判断三角形形状 14 题型2 求到两点距离相等的直线方程 17 题型3 将军饮马问题求最值 21 三、难点题型 21 题型1 用两点间距离公式求函数最值 23 题型2 距离新定义问题 25 题型3 对称问题 27 题型4 直线综合 30 四、活学活用培优训练 43 一．基础知识点 知识点1 两点间的距离与中点坐标公式：两点间的距离(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝．中点坐标公式：一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)， 则 例1 在极坐标系下，，两点间的距离为（       ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 将极坐标化为直角坐标，再根据两点间的距离公式计算可得； 【详解】 解：根据， 对于，则，所以的直角坐标为； 同理可得的直角坐标为， . 故选：C. 例2 （多选题）已知直线，则下述正确的是（       ） A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率一直存在 C．直线时直线的倾斜角为 D．点到直线的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据直线斜率的定义和倾斜角的定义，即可判断ABC,对于D选项，求出直线恒过定点，所求最大距离，即为这两点间的距离. 【详解】 解：对于A,当时，此时斜率为0，故A对， 对于B, 当时，此时斜率不存在，故B错， 对于C, 当时，直线，即，斜率为1，倾斜角为，故C对. 对于D, ,即，恒过和的交点，要使点到直线的最大距离，即时，此时最大距离为，故D对. 故选：ACD 例3 已知点，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 根据两点间距离公式求出，再求出，比较即可判断. 【详解】 ∵， ， ， ∴， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 知识点2 点到直线的距离： 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 图示 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 例1 点为轴上的点，，，以，，为顶点的三角形的面积为8，则点的坐标为（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】 【分析】 根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】 设，直线的方程为， 点到直线的距离，， 所以，解得：或， 所以点的坐标为或. 故选：A 例2 （多选题）已知圆，圆，、分别为圆、上的动点，为直线上的动点，则下列结论正确的是（） A．圆与圆相切 B．圆心、到直线的距离相等 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用几何法判断两圆的位置关系，可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；计算得出（其中、分别为圆、圆的半径），可判断C选项；计算得出（其中为圆心到直线的距离），可判断D选项. 【详解】 对于A选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，故两圆外离，A错； 对于B选项，圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，则直线与圆相离，则，D对. 故选：BD. 例3 已知直线过点，O为坐标原点． (1)若与OM垂直，求直线的方程； (2)若O到的距离为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【解析】 【分析】 （1）由点，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）分直线斜率存在和斜率不存在，两种情况，结合点到直线的距离公式，即可求解. (1) 解：因为点，可得，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即． (2) 解：当直线斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，直线l方程为； 当直线斜率不存在时，的方程为，原点到的距离为2， 综上可得，直线的方程为或． 知识点3 两条平行直线间的距离： 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 图示 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 例1 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先由平行求出，再由平行线间距离公式求解即可. 【详解】 由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是. 故选：D. 例2 （多选题）下列说法错误的有（        ） A．直线的斜率不存在 B．直线到直线的距离为 C