1.4 两条直线的交点-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

1.4 两条直线的交点 1.4 两条直线的交点 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 直线的交点与直线的方程组解的关系 3 二、典型题型 3 题型1 由直线交点个数求参数 5 题型2 由直线交点坐标求参数 7 三、难点题型 8 题型1 三线围成三角形面积问题 10 题型2 直线交点系方程及其应用 13 四、活学活用培优训练 25 一．基础知识点 知识点1 直线的交点与直线的方程组解的关系： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 例1 已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，求出直线、的方程，联立可求得结果. 【详解】 因为，所以，直线的方程为，即， 设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近， 此时直线的方程为，联立，解得， 因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为. 故选：C. 例2 （多选题）已知集合，集合，且，则（       ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果． 【详解】 解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 例3 解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【答案】，无数个解；，无解；且，. 【解析】 【分析】 分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】 （1）当时，方程组有无数个解， 解得； （2）当时，方程组无解， 解得； （3）当时，方程组只有一组解为， 解得且， 综上，，无数个解；，无解；且，. 【点睛】 本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 二．典型题型 题型1 由直线交点个数求参数 例1 已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 判断出直线所过定点，结合图象求得的取值范围 【详解】 直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 例2 （多选题）若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为（       ）． A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】AC 【解析】 【分析】 由交点个数分析可得三条直线中，有两条直线互相平行，结合斜率分析即得解 【详解】 由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行． ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行． ∵的斜率为1，的斜率为－2，的斜率为a， ∴或时，两直线分别平行且不重合，符合题意 故选：AC 例3 是否存在实数a，使三条直线：l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0围成一个三角形？并说明理由. 【答案】见解析 【解析】 【分析】 三条直线能围成三角形，任意两条直线不能平行，三条直线不过同—点，根据直线平行、三线过一点，求出的值，求补集即可. 【详解】 ①当＝≠时，l1∥l2， 解得a＝－1； ②当＝≠时，l1∥l3，无解； ③当＝≠时，l2∥l3，无解； ④当l1与l2，l3相交于同一点时， 由得交点坐标为(－1－a,1)， 将其代入直线方程ax＋y＋1＝0， 得a＝－2或a＝1. 故当a≠1且a≠－1且a≠－2时，这三条直线能围成一个三角形 【点睛】 本题主要考查两条直线平行的性质以及两条直线交点的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用以及转化与划归思想、分类讨论思想的应用，属于中档. 题型2 由直线交点坐标求参数 例1 若两条直线与的交点在轴上，那么的值为 A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【解析】 设在轴上的交点为，代入两直线方程求解即可. 【详解】 设交点在轴上为， 则， 可得， 故无解， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了直线的交点，考查了运算能力，属于中档题. 例2 （多选题）平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数的可能取值为（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据三条直线将平面划分成六部分，可以确定三条直线的位置关系，然后分类讨论求出实数的取值集合． 【详解】 因为三条直线将平面划分成六部分，所以三条直线有以下两种情况： （1）三条直线交于同一点，解方程组，所以交点坐标为，直线也过该点，故； （2）