1.3 两条直线的平行与垂直-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

1.3 两条直线的平行与垂直 1.3 两条直线的平行与垂直 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 两条直线平行的判定 3 知识点2 两条直线垂直的判定 5 二、典型题型 5 题型1 由两条直线平行求方程 7 题型2 由两条直线垂直求方程 8 三、难点题型 8 题型1 两条直线平行和垂直的综合应用 11 四、活学活用培优训练 21 一．基础知识点 知识点1 两条直线平行的判定： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 例1 “”是“直线与直线平行”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 例2 （多选题）已知直线（       ） A．直线与直线平行 B．直线与直线平行 C．直线与直线垂直 D．直线与直线垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】 由直线平行和垂直的判定依次判断各个选项即可. 【详解】 对于A，与斜率相同，但截距不同，与平行，A正确； 对于B，，与不平行，B错误； 对于C，，与不垂直，C错误； 对于D，，与垂直，D正确. 故选：AD. 例3 判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)平行，理由见解析； (2)平行，理由见解析； (3)不平行，理由见解析； (4)平行，理由见解析. 【解析】 【分析】 根据直线的斜率、平行的判定及与数轴的位置关系，结合各直线与数轴的截距判断两直线是否平行即可. (1) 由题设，、的斜率为，又，，即不重合， 所以、平行. (2) 由题设，中、中， 所以，又，，即不重合， 所以、平行. (3) 由题设，、的斜率，且，，即两线重合， 所以、重合. (4) 由题设，、均垂直于x轴，又，，故不重合， 所以、平行. 知识点2 两条直线垂直的判定： 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 例1 直线与直线垂直，则的值为（       ） A． B．1 C． D．9 【答案】B 【解析】 【分析】 利用直线的一般式方程判定直线垂直的条件进行求解. 【详解】 由题意，得，解得. 故选：B. 例2 （多选题）对于直线系，，下列说法正确的有（       ） A．存在定点与中的所有直线距离相等 B．中不存在两条互相平行的直线 C．中存在两条互相垂直的直线 D．存在定点不在中的任意一条直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】 应用点线距离公式知，点到M的距离且该点不在M上，可判断A、D的正误；利用特殊值法可判断B、C的正误. 【详解】 A：由M的方程知：点到M的距离为，故正确； B：当有，当有，即存在平行的直线，故错误； C：当有，当有，即存在垂直的直线，故正确； D：显然存在，有，即不在中的任意一条直线上，故正确； 故选：ACD. 例3 已知直线，的方程分别是（，不同时为0），（，不同时为0），且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 写出两直线的方向向量，说明两方向向量内积为0即可. 【详解】 证明：直线的方向向量为,直线的方向向量为, 则, 即与垂直，即. 二．典型题型 题型1 由两条直线平行求方程： 解题技巧：(1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． 例1 已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（       ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解析】 【分析】 首先求出的斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可； 【详解】 解：，，所以，且的中点为， 若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为， 即，则到直线的距离， 即，解得或； 所以直线为或； 若直线与平行，设直线为，则到直线的距离， 解得或，所以直线为或； 综上可得满足条件的直线有4条； 故选：D 例2 （多选题）下列结论中正确的有（       ） A．过点且与直线平行的直线的