1.2 直线的方程-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

1.2 直线的方程 1.2 直线的方程 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 直线的点斜式方程和斜截式方程以及在y轴上的截距 3 知识点2 直线的两点式和截距式方程 6 知识点3 直线的一般式方程 8 二、典型题型 8 题型1 直线过定点问题 10 题型2 直线一般式方程与其他形式之间的互化 13 三、难点题型 13 题型1 直线与坐标轴围成图形面积问题 15 题型2 含参的直线一般式方程问题 16 四、活学活用培优训练 27 一．基础知识点 知识点1 直线的点斜式方程和斜截式方程以及在y轴上的截距： 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x1，y1)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 直线在y轴上的截距：在直线l的斜截式方程y＝kx＋b中，我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 注意：求直线的点斜式方程的步骤 例1 已知直线l过点，倾斜角，下列方程可以表示直线l的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分倾斜角和两种情况讨论，利用点斜式即可求解. 【详解】 解：当倾斜角时，因为直线l过点，所以直线l的方程为，此时选项A，B，C没有意义，选项D符合题意； 当倾斜角时，直线l的斜率为， 所以由点斜式有直线l的方程为，即； 综上，直线l的方程为， 故选：D. 例2 （多选题）下列说法中，正确的有（       ） A．直线必过定点 B．直线在轴上的截距为1 C．直线的倾斜角为 D．点到直线的距离为1 【答案】AC 【解析】 【分析】 对A,化简方程令的系数为0求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可. 对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横纵坐标的差求解即可. 【详解】 对A,化简得直线,故定点为.故A正确. 对B, 在轴上的截距为.故B错误. 对C,直线的斜率为,故倾斜角满足, 即.故C正确. 对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D错误. 故选：AC. 例3 已知直线的方程为，的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的斜截式方程． 【答案】 【解析】 【分析】 由平行关系得到直线的斜率，求解直线的截距，由直线的斜截式方程，即得解 【详解】 由斜截式方程，知直线的斜率， 又因为，所以的斜率． 由题意，知在轴上的截距为， 所以在轴上的截距为， 由斜截式，得直线的方程为． 知识点2 直线的两点式和截距式方程： 名称 两点式方程 截距式方程 已知条件 直线l过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2 直线l经在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0 示意图 直线方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零，不过原点 注意：1.由两点式求直线方程的步骤：(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．2.利用截距式求直线方程的注意事项：(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0．①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；截距相反且不为零，可设x－y＝a；截距相等且均为零，可设y＝kx． 例1 过两点的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两点式方程直接求解即可. 【详解】 解：∵直线过两点和， ∴直线的两点式方程为＝，整理得. 故选：C. 例2 （多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据题意，分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：若直线过原点，则直线的方程为， 将点代入得，所以直线方程为，即； 若直线不过原点，根据题意，设直线方程为， 将点代入得，故直线的方程为； 所以直线的方程为：或． 故选：AB． 例3 根据所给条件求直线方程. (1)直线过点，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为； (3)直线过点，. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解析】 【分析】 （1）利用点斜式方程可得答案； （2）利用截距式方程可得答案； （3）先求出斜率再用点斜式方程可得答案. (1) ，， 则直线方程为， 即或. (2) 依题意得，直线的横截距、纵截距均不为， 可设直线方程为， 代