1.1 直线的斜率与倾斜角-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

1.1 直线的斜率与倾斜角 1.1 直线的斜率与倾斜角 1 知识框架 1 一、基础知识点 1 知识点1 直线的斜率 3 知识点2 直线的倾斜角 5 知识点3 直线的倾斜角与斜率的关系 7 二、典型题型 7 题型1 已知斜率求参数 9 题型2 斜率公式的应用 12 三、难点题型 12 题型1 直线与线段的相交关系求参数范围 14 四、活学活用培优训练 22 一．基础知识点 知识点1 直线的斜率：对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)． (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)．(2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 例1 若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用直线的斜率结合直线在图象中的位置关系进行判断. 【详解】 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0. 直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2， 因此k1＜k3＜k2. 故选:D. 例2 （多选题）下列四个命题中，错误的有（       ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据倾斜角与斜率的定义判断即可. 【详解】 解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以， 当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确； 对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误； 故选：ACD 例3 求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角. (1)、； (2)、，其中实数a是常数. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解析】 【分析】 （1）先求得直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系去求直线的倾斜角即可； （2）按实数a的不同取值分类讨论，利用斜率与倾斜角的关系分别去求直线的倾斜角与斜率. (1) 经过､两点的直线的斜率， 设直线PQ的倾斜角为，则， 又，则 (2) 设直线PQ的倾斜角为，则， 当时，直线PQ的斜率不存在，倾斜角； 当时，，则 ①若，则； ②若，则. 知识点2 直线的倾斜角： 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0≤α<π} 作用 (1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可 例1 直线l：的倾斜角为，则的值为（       ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 由题知，然后利用两角差的正切公式即得. 【详解】 由题可知， 所以. 故选：D. 例2 （多选题）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 【分析】 分别在和求得旋转后倾斜角即可. 【详解】 直线倾斜角的取值范围为， 当时，旋转后得到的倾斜角为：； 当时，旋转后得到的倾斜角为：. 故选：AC. 例3 求经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】 当时，斜率不存在，当时，利用斜率公式求解 【详解】 由题意，当时，倾斜角， 当时，，即倾斜角为锐角； 综上得：． 知识点3 直线的倾斜角与斜率的关系：(1)当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在；(2)当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率与倾斜角α之间的关系为k＝tan α． 例1 直线的倾斜角的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据倾斜角与斜率的关系求解即可 【详解】 设直线的倾斜角为，可得， 所以的取值范围为 故选：D 例2 （多选题）已知角的终边在直线上，则的值可能是（       ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据直线方程判断所在象限且，并求出角的大小，根据目标式，讨论的位置求函数值即可. 【详解】 由题设，且在第一或三象限，则，， 又，， 当在第一象限时，； 当在第三象限时，. 故选：BC 例3 已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率. 【答案】 【解析】 【分析】 由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解. 【详解】 解：由题意，设直线的倾斜角