第2章 圆与方程 章末小结-2022-2023学年高二数学教材同步知识点专题详解(苏教版2019选择性必修第一册)

第2章 圆与方程 章末小结 一、典型题型 1 题型1 求圆的方程 1 题型2 直线与圆的位置关系 5 题型3 圆与圆的位置关系 12 一．典型例题 题型1 求圆的方程 反思领悟：1．求圆的方程的方法 求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题． 2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤 (1)选择圆的方程的某一形式． (2)由题意得a， b， r(或D， E， F)的方程(组)． (3)解出a， b， r(或D， E， F)． (4)代入圆的方程． 例1 在平面直角坐标系中， 已知点 是圆心在原点， 半径为 的圆上的点， 且 ，若点 的坐标为 ， 则 的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由题可判断AC的中点为原点，从而，然后用坐标表示出所求，利用点B在圆上化简可得. 【详解】 因为，所以AC为单位圆的直径，O为AC的中点. 设，则， 所以 所以 因为，所以 故选：B 例2 （多选题）已知点A是圆C:上的动点，O为坐标原点，，且,，，三点顺时针排列，下列选项正确的是（       ） A．点的轨迹方程为 B．的最大距离为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】 如图，过O点作，设点，利用相关点代入法，可求得轨迹方程为，可判断A；根据点到圆上距离的最值求解，可判断B；设，将向量的数量积表示成关于的函数，可判断C，D； 【详解】 如图，过O点作 则点，设点，设，则，设， 所以，，， 所以，，， 即点， 因为， 设点，可得，解得， 因为点在圆上，所以， 将代入方程可得， 整理可得，所以A是错的， 所以的最大距离为，B是对的， 设， 所以的最大值为2，D是对的. 故选：BD 例3 在以O为原点的直角坐标系中，点为△OAB的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零. (1)求的坐标； (2)设点，求以OC为直径的圆M关于直线OB对称的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）设，根据题意列出方程组，即可求得答案； （2）求出圆M的方程以及直线OB的方程，求得点M关于直线OB的对称点坐标，即可求得答案. (1) 设，则 或, ∵B点的纵坐标大于零，∴. (2) 由可得， 直线OB的方程为：， 圆M的方程为：， 设关于直线OB的对称点为， 则 ， 所以，所求圆方程为. 题型2 直线与圆的位置关系 反思领悟：判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系. 例1 直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意首先求得的长度，然后确定圆上的点到直线的距离，最后确定三角形面积的取值范围. 【详解】 解：因为，所以. 圆的标准方程，圆心， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的取值范围为：， 所以. 故选:C. 例2 （多选题）已知直线，圆，则（       ） A．直线与圆相交 B．圆上的点到直线距离的最大值为 C．直线关于圆心对称的直线的方程为 D．圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由圆的方程可确定圆心和半径；利用圆心到直线距离知直线与圆相交，得A正确；由圆上点到直线距离最大值为，可知B错误；由直线关于点的对称直线的求法可知C正确；利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由此可得圆的方程，知D正确. 【详解】 由圆方程知：圆心，半径； 对于A，圆心到直线距离，直线与圆相交，A正确； 对于B，圆心到直线距离，圆上的点到直线距离的最大值为，B错误； 对于C，设直线关于圆心对称的直线方程为：， 则圆心到直线和到其对称直线的距离相等，，解得：（舍）或，直线关于圆心对称的直线的方程为，C正确； 对于D，设圆心关于直线对称的点为，则，解得：， 所求圆的圆心为，半径为， 圆关于直线对称的圆的方程为，D正确. 故选：ACD. 例3 已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 【答案】(1) (2)，最大值为. 【解析】 【分析】 （1）利用垂径定理求出斜率，即可求出直线的方程；（2）利用几何法表示出弦长与d的关系，利用基本不等式求出的面积S的最大值． (1) 圆化为标准方程为：. 则. 设所求的直线为m.由圆的几何性质可知：，所以， 所以所求的直线为：，即. (2) 设圆心C到直线l的距离为d，则，且，所以 因为直线与圆C交于A，B两点，所以,解得：且. 而的