专题16 一元二次不等式的应用-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题16 一元二次不等式的应用 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 法一：或， 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 3．有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 题型一 解简单的分式不等式 1．解下列不等式： (1)<0； (2)≥0； (3)≤2. (4)>1. [解析](1)由<0，得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． (2)原不等式可化为解得∴x<－或x≥， ∴原不等式的解集为. (3)解法一：移项得－2≤0，左边通分并化简得≤0，即≥0， 它的同解不等式为∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 解法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或② 解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． (4)解法一：原不等式可化为或解得或 ∴－3<x<－，∴原不等式的解集为. 解法二：原不等式可化为>0，化简得>0，即<0， ∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3<x<－.∴原不等式的解集为. 2．解下列不等式： (1) >0；(2) >0；(3) <1；(4) ≥2； [解析] (1) 不等式>0⇔(x－2)(x＋3)>0的解集是{x|x<－3或x>2}； (2) >0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为； (3) 原不等式等价于－1<0⇔<0⇔(x＋1)·(1－2x)<0⇔(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>， 此不等式的解集为； (4) ∵原不等式等价于∴ ∴即. 3．解下列不等式： (1) ≤3；(2)≤1；(3)<0；(4) ≥5；(5)≥0；(6)<3. [解析] (1)　≤3⇔－3≤0⇔≥0⇒x(2x－1)≥0且x≠0，解得x<0或x≥，即； (2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为； (3)由<0得>0，此不等式等价于(x－1)>0，解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为. (4) 原不等式⇔≥⇔≤0⇔解得0<x≤，∴原不等式的解集为； (5)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (6)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．0<x<2 B．－2<x<1 C．x<－2或x>1 D．－1<x<2 [解析]∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1.∴选B. 5．不等式>0的解集为________． [解析]原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为{x|－4<x<－3或x>－1} 6．不等式<0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2或2<x<3} B．{x|1<x<3} C．{x|2<x<3} D．{x|－1<x<2} [解析]原不等式⇔∴－1<x<3且x≠2. 7．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________． [解析]等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2，故不等式的解集为{x|0＜x＜2}． 8．已知关于x的不等式<0的解集是，则a＝________. [解析]　<0⇔(ax－1)(x＋1)<0，根据解集的结构可知，a<0且＝－，∴a＝－2. 9．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　) A．－1＜a＜3 B．a＜－1或a＞3 C．－3＜a＜1 D．a＜－3或a＞1 [解析]由题意得，a2＋1<x<4＋2a.∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，∴－1<a<3. 题型二 有关一元二次不等式恒成立的问题 1．设a≠0，不等式ax2－x＋a>0的解集为R，求实数a的取值范围． [解析]由题意得，解得