专题15 二次函数与一元二次方程、不等式-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题15 二次函数与一元二次方程、不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 4．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 5．解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}； 若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 6．含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2. 题型一 一元二次不等式的解法 1．解不等式： (1)2x2－3x－2>0；(2)－3x2＋6x－2>0；(3)4x2－4x＋1≤0；(4)x2－2x＋2>0. [解析](1)方程2x2－3x－2＝0的解是x1＝－，x2＝2. 因为函数是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是. (2)不等式可化为3x2－6x＋2<0. 因为3x2－6x＋2＝0的判别式Δ＝36－4×3×2＝12>0， 所以方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋. 因为函数y＝3x2－6x＋2是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是. (3)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝，函数y＝4x2－4x＋1是开口向上的抛物线， 所以原不等式的解集是. (4)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解． 又因为函数y＝x2－2x＋2是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R. 2．解下列不等式： (1)－x2＋7x>6；(2)(2－x)(x＋3)<0；(3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；(4) 0≤x2－x－2≤4. [解析]　(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (3)由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.∴原不等式等价于9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为. (4)原不等式等价于 解x2－x－2≥0，得x≤－1或x≥2；解x2－x－2≤4，得－2≤x≤3. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－2≤x≤－1或2≤x≤3}． 3．解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0；(4)x2－4x＋4>0； (5)－