专题14 基本不等式的应用-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题14 基本不等式的应用 知识点一 基本不等式与最大(小)值 当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；(简记：和定积有最大值) (2)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2.(简记：积定和有最小值) 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 知识点二 基本不等式的实际应用 基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下： (1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)根据实际意义写出正确的答案． 题型一 利用基本不等式求最值 1．(1)若x>0，求y＝4x＋的最小值； (2)设0<x<，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x>2，求x＋的最小值； (4) 已知x<2，求x＋的最大值； (5) 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值； (6) 已知x>2，求的最小值； (7) 已知x>－1，求函数y＝的最小值 [解析]　(1)∵x>0，∴由基本不等式得y＝4x＋≥2 ＝2＝12， 当且仅当4x＝，即x＝时，y＝4x＋取最小值12. (2)∵0<x<，∴3－2x>0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取“＝”．∴y的最大值为. (3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝6. 当且仅当x－2＝，即x＝4时，x＋取最小值6. (4) ∵x<2，∴2－x>0，∴x＋＝x－2＋＋2＝－＋2≤－2 ＋2＝－2. 当且仅当2－x＝，即x＝0时，x＋取最大值－2. (5)∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16. 当且仅当＝且＋＝1时等号成立，即x＝4，y＝12时等号成立． ∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16. (6) ＝＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6 当且仅当x－2＝，即x＝4时，原式有最小值6. (7) 　∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1， 于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1，∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9. 2．(1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－2x)的最大值； (3)已知x>0，求y＝的最小值； (4)已知0<x<，求函数y＝x(1－3x)的最大值； (5) 已知－4<x<1，求y＝的最大值； (6)已知x＞－1，求y＝的最小值． [解析]　．(1)∵x<，∴5－4x>0，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1. (2)∵0<x<，∴1－2x>0，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝. ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝. (3)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. (4)法一：∵0<x<，∴1－3x>0.∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤2＝. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值. 法二：∵0<x<，∴－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·2＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．∴当x＝时，函数取得最大值. (5) y＝＝，又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0. 故y＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立． (6)∵x>－1，∴x＋1＞0，y＝＝＝x＋1＋＋1≥2＋1， 当且仅当x＋1＝时，即x＝－1时，函数y的最小值为2＋1. 3．当x>0时，y＝＋4x的最小值为(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 [解析]　∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x， 即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.[答案]　C 4．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. [解析]f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，∴＝3，即a＝36. 5．已知x>0，求y＝的最大值． [解析]y＝＝.∵x>0，∴x＋≥2＝2， ∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立． 6．已知x，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． [