专题13 基本不等式-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第一册）

专题13 基本不等式 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．由基本不等式变形得到的常见结论 (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)≤≤ (a，b均为正实数)； (3)＋≥2(a，b同号)； (4)(a＋b)≥4(a，b同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 题型一 对基本不等式的理解 1．＋≥2成立的条件是________． [解析]只要与都为正，即a、b同号即可． 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 [解析]　a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．[答案]　B 3．若ab>0，则下列不等式不一定能成立的是(　　) A．a2＋b2≥2ab B．a2＋b2≥－2ab C．≥ D．＋≥2 [解析]C选项由条件可得到a、b同号，当a、b均为负号时，不成立．[答案]　C 4．已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是(　　) A．a＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ [解析]由≥得a＋b＝2，∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． 5．下列命题中正确的是(　　) A．当a，b∈R时，＋≥2 ＝2 B．当a>0，b>0时，(a＋b)≥4 C．当a>4时，a＋≥2 ＝6 D．当a>0，b>0时，≥ [解析]A项中，可能<0，所以不正确； B项中，因为a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时等号成立， 所以正确； C项中，a＋≥2 ＝6中的等号不成立，所以不正确； D项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以D不正确． 6．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　　) A．x＋≥2 B．x＋≤－2 C.≥ D.≥2 [解析]因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2， 所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D. 7．给出下面三个推导过程： ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．② D．①③ [解析从基本不等式成立的条件考虑． ①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2 ＝4是错误的； ③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案]　D 8．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. [解析]①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1， 所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．[答案] ② 9．若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号． [解析]＝＝＋≥2＝2， 其中当且仅当＝⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．[答案]　0 10．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)． ①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2. [解析]令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2⇒ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2， ③正确；＋＝＝≥2，⑤正确．[答案]　①③⑤ 11．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是(　　) A.≥8 B.＋≥4 C.≥ D.≤ [解析]∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4. 故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab， 当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故选项D不正确．对于选项B， ∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥