专题3.3 抛物线-【满分计划】2022-2023学年高二数学阶段性复习精选精练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 抛物线 （一）抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． （二）抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 （三）直线和抛物线的位置关系 （1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： （四）焦半径、焦点弦 1.通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径|AF| |AF|＝__x0＋__ |AF|＝__－x0__ |AF|＝__y0＋__ |AF|＝__－y0__ 3．焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l． (1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__； (2)|AB|＝2(x0＋)＝x1＋x2＋__p__； (3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2． 抛物线常用的二级结论 知识扩展： 1、通径 过抛物线的焦点作直线轴，交抛物线于两点，弦长，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦. 2、焦点弦的性质 （1）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，则 ①，；②定值，定值； ③定值；④. （2）过抛物线的焦点作倾斜角为（斜率为）的直线交抛物线于（在上方）两点，则 ①；②；③. （3）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，则 ①；②；③； ④；⑤； ⑥以为直径的圆与准线相切，切点即为； ⑦以为直径的圆与轴相切； ⑧； ； ⑨. （4）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为，准线与轴交于点，为坐标原点，则 ①； ②三点共线； ③三点共线； （5）过抛物线的焦点作直线交抛物 线于两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 . （6）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为准线上的一动点，且直线、、的斜率均存在，则直线、、的斜率成等差数列，即. 3、焦点弦被焦点分为两段、,，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。 题型一 抛物线的定义及方程 高考中常求抛物线的方程，一般会与其他知识相结合，求抛物线方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 例题1 已知抛物线的焦点为F，点P为E上一点，Q为PF的中点，若，则Q点的纵坐标为（） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【解析】过点P，Q分别作准线的垂线，垂足分别为（如图）， 设准线与纵轴的交点为， 由梯形中位线定理易知，又准线方程为，故Q点的纵坐标为5. 故选：B. 例题2 ．抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】抛物线的焦点为，准线， 由于，根据抛物线的定义可知，点的横坐标为，由，不妨设， 关于的对称点为，，所以的最小值为.故D 例题3 ．已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ：，则，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，因为FB为∠DFA的平分线，则，又，所以，所以，又，所以．故选：B 例题4 ．已知O为坐标原点，A是抛物线上一点，点A到C的焦点F的距离为，到y轴的距离为，则