2.1 圆的方程-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

2.1 圆的方程 【知识点梳理】 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点五：轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【题型归纳目录】 题型一：圆的标准方程 题型二：圆的一般方程 题型三：点与圆的位置关系 题型四：轨迹问题 题型五：二元二次曲线与圆的关系 题型六：圆过定点 题型七：与圆有关的对称问题 【典型例题】 题型一：圆的标准方程 例1．（2022·贵州·高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为． 故选：B 例2．（2022·重庆南开中学高一期末）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为， 根据题意可得， 解得， 所以该圆的方程为． 故选：D． 例3．（2022·全国·高二专题练习）过点，且圆心在直线上的圆的方程为_______． 【答案】 【解析】设圆的标准方程为， 因为圆过点，且圆心在直线上， 则有，解得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 例4．（2022·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，则圆的方程为________． 【答案】＝2 【解析】由题意得：圆心在直线上， 又圆心在直线上，令，得 圆心的坐标为，又， 半径， 则圆的方程为． 故答案为： 例5．（2022·江苏·高二单元测试）求满足下列条件的圆的标准方程． （1）圆心在x轴上，半径为5，且过点； （2）经过点、，且以线段AB为直径； （3）圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点； （4）圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，． 【解析】（1）设圆的标准方程为． 因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6， 所以所求圆的标准方程为或． （2）设圆的标准方程为，由题意得，； 又因为点在圆上，所以． 所以所求圆的标准方程为． （3）设圆心为． 因为圆与直线y=1-x相切于点，所以， 解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径． 所以所求圆的方程为． （4）设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为． 又该圆经过A、B两点，所以． 所以，解得a=-2， 所以圆心坐标为，半径． 故所求圆的标准方程为． 例6．（2022·全国·高二课时练习）求圆的半径的最小值． 【解析】由题意， 故圆的半径 当且仅当时等号成立 故圆的半径的最小值为 【方法技巧与总结】 一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知