第13讲 相似三角形判定定理的证明-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第13讲 相似三角形判定定理的证明 ( 目标导航 ) 课程标准 1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似； 2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。 ( 知识精讲 ) 知识点01 相似三角形判定定理的证明 （一）相似三角形的判定定理1的证明过程 已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E, 则∠ADE=∠B，∠AED=∠C, 过点D作AC的平行线，交BC与点F,则 ∴ ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE∽△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. （二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED, ∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似). ∴. ∵ ,AD=A′B′, ∴ ∴ ∴AE=A′C′ 而∠A=∠A′ ∴△ADE≌△A′B′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′. （三）相似三角形的判定定理3的证明过程 已知：在△ABC和△A′B′C′中， .求证：△ABC∽△A′B′C′. 证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE. ∵，AD=A′B′,AE=A′C′, ∴ 而∠BAC=∠DAE, ∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ 又，AD= A′B′, ∴ ∴ ∴DE=B′C′, ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′. 知识点02 证明相似三角形的一般思路 （1）有平行线——用平行线的性质，找“等角”（用判定定理1）。 （2）有一对等角——找“另一对等角”（用判定定理1）或“夹这对等角的两组边对应成比例”（用判定定理2）。 （3）有两组边对应成比例——找“夹角相等”（用判定定理2）或“第三边也对应成比例”（用判定定理3）。 （4）直角三角形——找“一对锐角相等”（用判定定理1）或“两直角边对应成比例”（用判定定理2）。 ( 能力拓展 ) 考法01 相似三角形判定定理的证明 【典例1】如图，在等腰梯形ABCD中，，，对角线AC，BD相交于点O，有如下四个结论：①梯形ABCD是轴对称图形；②；③；④.其中正确结论的个数为（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【即学即练】如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③；④；⑤．其中能使的有（       ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【典例2】在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题 （1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1； （2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1； （3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1； （4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1． 其中真命题的个数为（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【即学即练】△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是(　　) A．AB=c,AC=b,BC=a,DE=,EF=,DF= B．AB=1,AC=1.5,BC=2,DE=12,EF=8,DF=1 C．AB=3,AC=4,BC=6,DE=12,EF=8,DF=6 D．AB=,AC=,BC=,DE=,EF=3,DF=3 【典例3】如图，在中，、分别是边、上的点，下列命题中，假命题是（ ） A．若，则与相似 B．若，则与相似 C．若，则与相似 D．若，则与相似 【即学即练】如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，锐角，是边上异于、的一点，过点作直线截，所截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线共有（        ）条． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在下列各图中，不添