专题1.1 平方根与立方根【九大题型】-2022-2023学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）

专题1.1 平方根与立方根【九大题型】 【华东师大版】 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 1 【题型2 平方根性质的运用】 3 【题型3 开平方、开立方的运算】 4 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 6 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 8 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 9 【题型7 平方根与立方根综合】 11 【题型8 算术平方根、立方根的应用】 13 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 14 【知识点1 平方根的概念及表示】 ①定义：如果，那么叫做的平方根，也称为二次方根. ②表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中叫做被开方数. 【知识点2 立方根的概念及性质】 （1）一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作。即。 （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 【例1】（2022春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（　　） A．﹣a B．﹣a2+1 C．﹣a2 D．﹣a2﹣1 【分析】根据平方根的被开方数不能是负数，可得答案． 【解答】解：在﹣a，﹣a2+1，﹣a2，﹣a2﹣1中，﹣a2﹣1是负数，没有平方根． 故选：D． 【变式1-1】（2022春•鞍山期末）下列说法正确的是（　　） A．﹣1是1的平方根 B．﹣1是-1的平方根 C．﹣1是1的立方根 D．﹣1没有立方根 【分析】根据平方根和立方根的概念与性质进行辨别即可． 【解答】解：∵±1都是1的平方根， ∴选项A符合题意； ∵-1没有平方根， ∴选项B符合题意； ∵1的立方根是1， ∴选项C不符合题意； ∵﹣1的立方根是﹣1， ∴选项D符合题意， 故选：A． 【变式1-2】（2022春•应城市期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义解决此题． 【解答】解：A．无意义，故A不符合题意． B．，故B符合题意． C．，故C不符合题意． D．，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（2022春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（　　） A．0只有一个平方根 B．若x2＝3，则x＝± C．的立方根是2 D．512的立方根是±8 【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案． 【解答】解：A、0只有一个平方根，故A不符合题意． B、若x2＝3，则x＝±，故B不符合题意． C、8，8的立方根是2，故C不符合题意． D、512的立方根是8，故D符合题意． 故选：D． 【知识点3 平方根的性质】 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型2 平方根性质的运用】 【例2】（2022春•临洮县期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值． 【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值． 【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1， ∴﹣a+2+2a﹣1＝0 解得a＝﹣1． 所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9． 【变式2-1】（2022•工业园区期中）一个正数M的两个平方根分别是2a+3和2b﹣1，求（a+b）2022． 【分析】利用正数的平方根有2个，且互为相反数求出a+b的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：2a+3+2b﹣1＝0， 整理得：a+b＝﹣1， 则原式＝1． 【变式2-2】（2022春•孟村县期中）已知正实数x的两个平方根是m和m+b． （1）当b＝8时，m的值是　﹣4　； （2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝　　． 【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值； （2）利用平方根的定义得到（m+b）2＝x，m2＝x，代入式子m2x+（m+b）2x＝4即可求出x值． 【解答】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b ∴m+m+b＝0， ∵b＝8， ∴2m+8＝0 ∴m＝﹣4； （2）∵正实数x的平方根是m和m+b， ∴（m+b）2＝x，m2＝x， ∵m2x+（m+b）2x＝4， ∴x2+x2＝4， ∴x2＝2， ∵x＞0， ∴x． 故答案为：（1）﹣4；（2）． 【变式2-3】（2022春•建安区期中）若a是（﹣4）2的平方根，b的一个平方根是2，则代数式a+b的值为（　　） A．8 B．0 C．8或0 D．4或﹣4 【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的加法法则求