2.5.1 直线与圆的位置关系 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2.5.1 直线与圆的位置关系 课程标准 核心素养 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．体会用代数方法处理几何问题的思想. 直观想象 数学运算 知识点1 直线与圆的三种位置关系 位置关系 交点个数 图示 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 注：直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 【即学即练1】直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切　　　　　　　 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 【解析】圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝.因为0＜＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，选B. 【即学即练2】直线与圆的位置关系是（  ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【解析】直线恒过定点，而，故点在圆的内部， 故直线与圆的位置关系为相交， 故选：B. 【即学即练3】直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C. D．无解 【解析】由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2. 【即学即练4】已知圆经过，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线：与圆无公共点，求实数的取值范围. 【解析】(1)∵圆心C在直线， ∴可设圆心坐标为， ∵圆C经过，， ∴即，解得 ∴圆心坐标为，半径 故圆C的标准方程为； (2)∵圆心C到直线l的距离且直线l圆C无公共点， ∴即，解得， 故实数k的取值范围为； 综上，圆C的标准方程为，. 知识点2 直线与圆相交 1．解决圆的弦长问题的方法 几何法 （常用） 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝·＝·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB| 注：直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数，结合韦达定理可得到 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 【即学即练5】直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________． 【解析】圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，所以弦长为2＝2×＝2＝4. 知识点3 直线与圆相切 1．求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 2．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－，由点斜式可写出切线方程． 3．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程 代数法 当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出 4.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 5.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 【即学即练6】过点作圆的切线，则切线的方程为（  ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以点在圆，又，所以切线的斜率为，所以切线方程为，整理得； 故选：C 【即学即练7】过点作圆的切线，则切线的方程为（   ） A． B． C．或 D．