1.2 集合间的基本关系（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

1．2　集合间的基本关系 [学习目标]　1.在具体情境中，了解空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.能使用Venn图表达集合间的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　子集的概念 [实例]　观察下面的几个例子： (1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}； (2)A＝{高一年级的女生}，B＝{高一年级的全体同学}； (3)A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}． [问题导引1]　上述实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？ 提示：　都是． [问题导引2]　实例(3)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：　都是． 1．子集 文字 叙述 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集． 符号 表示 记作：A⊆B(或B⊇A)， 读作“A包含于B”(或“B包含A”) Venn图 表示 [点拨]　“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若A⊆B，则由x∈A，能推出x∈B． 2．集合相等 文字 叙述 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等． 符号 表示 若A⊆B且B⊆A，则A＝B Venn图 表示 [点拨]　集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致． 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{1，2，3}，B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解析：　(1)B＝{x|(x－1)(x－2)(x－3)＝0}＝{1，2，3}＝A． (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B． (3)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⊆M. 知识点二　真子集 [问题导引]　实例(1)，(2)中，集合B中的元素都是集合A中的元素吗？ 提示：　不全是． 1．真子集 文字 叙述 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 符号 表示 记作： 读作：“A真包含于B”(或“B真包含A”) Venn图 表示 [点拨]　A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A． 2．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC． 3．空集 定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特征 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅A (链接教材P8例2)写出下组各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； (4)A＝{x|x是文学作品}，B＝{x|x是散文}，C＝{x|x是叙事散文}． 解析：　(1)法一：集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA． 法二：在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知BA． (2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴BA． (3)A＝{x|x2－x＝0＝{0，1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝＝0，当n为偶数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B． (4)画出Venn图，可知CBA． 判断集合间关系的常用方法 即时练1.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空． (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C． 解析：　集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C． 答案：　(1)＝　(2) 　(3) 　(4)∈ 应用1　集合的子集、真子集 (链接教材P8例1)(2021·江西省六校联考)设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解析：　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1，4}， 由0个元素构成的集合A的子集：∅