1.1 第2课时 集合的表示方法（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　集合的表示方法 知识点一　列举法 [问题导引]　若集合M是小于5的自然数构成的集合，集合M中的元素能一一列举出来吗？ 提示：　能.0，1，2，3，4. 列举法 (1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)一般格式： (链接教材P3例1)用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合． 解析：　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}． (2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}． (3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． 用列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素． (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． (3)用花括号括起来．　　 即时练1.用列举法表示下列集合： (1)所有大于2且小于5的整数组成的集合； (2)方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的解集； (3)A＝{y|y＝x2－1，|x|≤2，x∈Z}． 解析：　(1){3，4}． (2)由(x－2)2＋(y＋3)2＝0得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3， 所以集合为{(2，－3)}或. (3)由|x|≤2，x∈Z得x为－2，－1，0，1，2. 当x＝2或－2时，y＝3；当x＝1或－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1.所以集合A＝{3，0，－1}． 知识点二　描述法 [问题导引]　若集合N是“绝对值小于2的实数”构成的集合，集合N中的元素还能一一列举出来吗？ 提示：　不能． 描述法 (1)定义：设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}． (2)一般格式： (链接教材P4例2)用描述法表示下列集合： (1)比1大且比10小的实数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D． 解析：　(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}． (2)易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D＝{(x，y)|x<0，且y>0}． 描述法表示集合的2个步骤 即时练2.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是(　　) A．{x|－3<x<11，x∈Z} B．{x|－3<x<11} C．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈N} D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z} D　[偶数集为{x|x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}．] 即时练3.选择适当的方法表示下列集合： (1)所有奇数组成的集合； (2)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合； (3)不等式2x－3<5的解组成的集合． 解析：　(1){x|x＝2n－1，n∈Z}． (2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝＋，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}． (3)不等式2x－3<5的解x<4组成的集合可用描述法表示为{x|x<4}． 集合表示法的应用 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 解析：　若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0，只有1个根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． [一题多变] 1．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解析：　由题意得 解得k<1，且k≠0. 2．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围． 解析：　①当集合A中含有1个元素时，由例3知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k>1. 综上，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}． 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． (2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必