1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习目标]　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 [问题导引]　下列各命题是全称量词命题吗？能写出它们的否定吗？ (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 提示：　都是全称量词命题．能. 全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 [点拨]　写出一个全称量词命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． (链接教材P29例3)写出下列全称量词命题的否定： (1)∀n∈Z，n∈Q； (2)任意奇数的平方数还是奇数； (3)每个平行四边形都是中心对称图形． 解析：　(1)∃n∈Z，n∉Q； (2)存在一个奇数的平方不是奇数； (3)存在一个平行四边形不是中心对称图形． 知识点二　存在量词命题的否定 [问题导引]　下列各命题是存在量词命题？能写出它们的否定吗？ (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1<0. 提示：　都是存在量词命题．能. 存在量词命题的否定 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 (链接教材P30例4，P31例5)写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． (1)∀x∈R，|x|＋1－x≠0； (2)∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； (3)某些平行四边形是菱形． 解析：　(1)命题的否定：∃x∈R，|x|＋1－x＝0，是假命题． (2)命题的否定：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点，是假命题． (3)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． 1．书写全称量词命题与存在量词命题的否定的思路 在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．判断命题否定的真假的方法 (1)命题与它的否定的真假情况是：一真一假． (2)判断命题的否定的真假，可以直接判断，也可转化为判断原命题的真假． 即时练1.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 C　[由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．] 即时练2.(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 AC　[命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题．又选项A，C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选AC．] 创新题型　根据命题的否定求参数 已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围． 解析：　题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根． 所以a＝0或 即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是a≤1. [一题多变] (变条件)将本例中的条件“ax2＋2x＋1≠0”改为“2x≠－x2＋a”，求实数a的取值范围． 解析：　因为原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，即命题“∃x∈R，2x＝－x2＋a”为真命题．则－x2－2x＋a＝0有实根． 所以Δ＝4＋4a≥0，所以a≥－1. 所以a的取值范围为a≥－1. 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．　　 即时练3.命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值构成的集合． 解析：　命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1. 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 1．(2021·北京八一学校高一期中)命题p：∃x∈Q，x2＝2的否定