1.4.2 充要条件（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

1.4.2　充要条件 [学习目标]　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 知识点　充要条件 [问题导引]　下列“若p，则q”的命题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？ (1)p：两直线平行，q：同位角相等； (2)p：a>b，q：a＋c>b＋C． 提示：　p⇒q，故p是q的充分条件，又q⇒p，故p也是q的必要条件． 命题真假 “若p，则q”和它的逆命题都是真命题 推出关系 既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q 条件关系 p既是q的充分条件，也是q的必要条件 名称 p是q的充分必要条件，简称为充要条件 “x＝0”是“x2＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．既是充分条件又是必要条件 D　[因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．] 即时练1.点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A．x<0，y<0 B．x<0，y>0 C．x>0，y>0 D．x>0，y<0 B　[P(x，y)要满足第二象限，则x<0，y>0.] 应用1　充要条件的判断 (链接教材P21例3)判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)p：|x|＝|y|，q：x3＝y3； (2)p：△ABC中，AB>AC，q：△ABC中，∠C>∠B； (3)p：A⊆B，q：A∪B＝B； (4)p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等． 解析：　(1)因为|x|＝|y|时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有|x|＝|y|， 所以p是q的必要不充分条件． (2)由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件． (3)若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件． (4)若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．　　 即时练2.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空． (1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________． (2)“ax＋1>0的解集是 R”是“0≤a<4”的________． 解析：　(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1，1}，∴A＝B，即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件． (2)∵ax＋1>0的解集是R，∴a＝0. a＝0⇒0≤a<4，0≤a<4⇒/ a＝0， ∴“ax＋1>0的解集是R”是“0≤a<4”的充分不必要条件． 答案：　(1)充要条件　(2)充分不必要条件 应用2　充要条件的证明 (链接教材P22例4)求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bC．(这里a，b，c是△ABC的三边边长) 证明：　必要性： 因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c， 所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立； 充分性： 由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立． 综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bC． 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的． [提醒]　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向．　　 即时练3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：　①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b， 所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 创新题型　充分、必要、充要条件的应用 在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问