1.4.1 充分条件与必要条件（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 知识点一　充分条件与必要条件 [问题导引]　判断下列命题的真假，并说明条件和结论具有怎样的逻辑关系？ (1)若x>2，则x>1. (2)若ab＝0，则a＝0. (3)若平行四边形的对角线相等，则这个平行四边形是矩形． 提示：　(1)为真命题，即条件“x>2”能够推出结论“x>1”．(2)为假命题，即条件“ab＝0”推不出结论“a＝0”．(3)为真命题，即条件“平行四边形的对角线相等”能够推出结论“这个平行四边形是矩形”． 1．命题 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (3)结构：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 2．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 [点拨]　(1)p是q的充分条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论是不唯一的． (2)“p是q的充分条件”与“q是p的必要条件”表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同． (链接教材P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若x>1，则x2>1； (3)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. 解析：　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此p q，所以p不是q的充分条件． (链接教材P19例2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (3)p：a>b，q：ac>bC． 解析：　(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． (2)因为p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)因为pq， 所以q不是p的必要条件． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．　　 即时练1.下列语句中，为真命题的是(　　) A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线l外一点A作直线AB⊥l于点B D．两个锐角的和是钝角 A　[直角的补角是直角，所以A选项为真命题；只有两直线平行时同旁内角才互补，所以B选项为假命题；C选项中的语句是祈使句，不是命题；30°与20°的和为税角，所以D选项为假命题．] 即时练2.指出下列各题中，p是q的什么条件． (1)p：实数a能被6整除，q：实数a能被3整除； (2)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形． 解析：　(1)实数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件． (2)x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以p是q的充分不必要条件． (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p q，且q⇒p，所以p是q的必要不充分条件． 充分、必要条件的应用 已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解析：　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a<0， 所以a的取值范围是－≤a<0. [一题多变] (变条件)将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解析：　p：a<x<3a，即集合A＝{x|a<x<3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解