1.3 第2课时 补集（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】同步导学（人教A版2019）

第2课时　补集 知识点　全集与补集 [实例]　U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}． [问题导引1]　集合U，A，B三者有何关系？ 提示：　U＝A∪B [问题导引2]　集合B中元素与U和A有何关系？ 提示：　B中元素都在U中， 但都不在A中． 1．全集 (1)概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：通常记作U． [点拨]　全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题涉及的所有元素． 2．补集 [点拨]　(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)∁UA的三层含义：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． (1)(链接教材P13例5)(2021·重庆高一期末联考)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，6} C．{2，3，6} D．{2，3，5} (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________． 解析：　(1)∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，∴∁UA＝{1，3，6}．故选B． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上， 如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}． 答案：　(1)B　(2){x|x<－3或x＝5} 求集合的补集的方法 即时练1.(2021·浙江台州一中高一(上)月考)已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．不存在 A　[因为U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，所以－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.故选A．] 应用1　集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B). 解析：　如图所示． ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}， ∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． ∴(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}． 求集合交、并、补运算的方法 　　 即时练2.设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{1，2，3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{4} B．{2，4} C．{4，5} D．{1，3，4} A　[图中阴影部分表示的集合在集合A但不含集合B中的元素，故图中阴影部分表示的集合是A∩(∁UB).因为U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，3}，所以∁UB＝{4，5}．因为A＝{2，4}，所以A∩(∁UB)＝{4}．故选A．] 应用2　与补集有关的参数范围问题 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解析：　方法一(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示集合B，∁UA如图． 所以－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是m≥2. 方法二　(集合间的关系)：由(∁UA)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}， 结合数轴： 得－m≤－2，即m≥2. [一题多变] 1．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析：　由已知得A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m>－2，解得m<2. 故m的取值范围为{m|m<2}． 2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？ 解析：　由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R， 所以－m≤－2，解得m≥2. 故m的取值范围为{m|m≥2}． 由集合的补集求解参数的问题 (1)如果所给集合是有限集