3.3 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

3.3 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 一、一元二次不等式的相关概念 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数） 3、一元二次不等式的解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。 二、一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 四、解一元二次不等式的步骤 1、画标准：通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，是二次项系数为正； 2、判别式：对不等式右侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； 3、求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根； 4、画草图：根据一元二方程根的情况画出对应的二次函数的草图； 5、写解集：根据图象写出不等式的解集。 五、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 六、分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 题型一 解不含参的一元二次不等式 【例1】不等式的解集为（ ） A．R B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，得， 所以不等式的解集为.故选：B 【变式1-1】不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【解析】不等式可化为， 则不等式的解集为，故选：. 【变式1-2】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 解得或， 所以不等式的解集为.故选：B 【变式1-3】不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得即 进而可得或 所以不等式的解集为故选：A 【变式1-4】求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1），解得： 不等式解集为：. （2），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. （3），整理得： ，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：. 题型二 解含参的一元二次不等式 【例2】已知，则关于的不等式的解集是________.（用区间表示） 【答案】 【解析】因为，所以 又，所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2-1】解关于x的不等式：. 【答案】答案见解析 【解析】即， 则对应方程的根为， ①当或时，原不等式的解集为， ②当或时，原不等式的解集为， ③当时，原不等式的解集为. 【变式2-2】求关于x的不等式的解集：． 【答案】时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为． 【解析】， 当时，不等式为，解集为， 时，不等式分解因式可得， 当时，故，此时解集为． 当时，，故此时解集为， 当时，可化为，又， 解集为． 当时，可化为， 又，解集为， 综上所述：时，解集为，时，解集为， 时，解集为，时，解集为， 时，解集为． 【变式2-3】解关于的不等式，则下列结论中正确的是（ ） A．当时，原不等式解集可能为 B．当时，原不等式解集可能为 C．当时，原不等式解集不可能为